Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 84/latex

\setcounter{section}{84}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} auf $V$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { { \mathcal V } ( M ) } { { \mathcal E }^{ 1 } ( M ) } {F} {\omega_F } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \omega_F(P) \right) } (v) }
{ \defeq} { \left\langle F(P) , v \right\rangle_P }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was besagt die in Lemma 84.3 beschriebene Korrespondenz zwischen \definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{} und $1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} in dieser Situation?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe Bemerkung 84.4.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} $\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert $1$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und $\lambda$ ein \definitionsverweis {translationsinvariantes Maß}{}{} auf $V$. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {V \times \cdots \times V} {\R } {(v_1 , \ldots , v_n) } { \pm \lambda (P(v_1 , \ldots , v_n)) } {,} wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass bei einer \definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeit}{}{} die \definitionsverweis {Kartenabbildungen}{}{} \maabbdisp {\alpha} {U} {V } {} im Allgemeinen keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} \maabbdisp {T_P(\alpha)} {T_PU} {T_{\alpha(P)} V } {} induzieren \zusatzklammer {wenn
\mathl{T_PU}{} mit
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_P}{} und
\mathl{T_{\alpha(P)} V= \R^n}{} mit dem Standardskalarprodukt versehen ist} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten den Graph $M$ der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(u,v)} { u^2+uv-v^3 } {,} als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\R^3$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ (u,v,u^2+uv-v^3) \mid (u,v) \in \R^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der vom $\R^3$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei \maabbeledisp {\psi} {\R^2} { M } {(u,v)} { (u,v,u^2+uv-v^3) } {,} die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu $\psi$ sowie die Bildvektoren
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{.}

b) Bestimme für jeden Punkt der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (u,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Flächeninhalt des von
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{} aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (0,v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} den Flächeninhalt des von
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{} aufgespannten Parallelogramms.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R } {} \zusatzklammer {mit \mathlk{m=n -1 \geq 0}{}} {} {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,} die in jedem Punkt der \definitionsverweis {Faser}{}{} $M$ über
\mathl{0 \in \R}{} \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus Korollar 83.6 und der \definitionsverweis {kanonischen Volumenform}{}{} $\omega$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau(P,v_1 , \ldots , v_m) }
{ =} { \pm \Vert { \operatorname{Grad} \, \varphi ( P ) } \Vert \omega(P, v_1 , \ldots , v_m) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^\ell } {} \zusatzklammer {mit \mathlk{m=n - \ell \geq 0}{}} {} {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{,} die in jedem Punkt der \definitionsverweis {Faser}{}{} $M$ über
\mathl{0 \in \R^\ell}{} \definitionsverweis {regulär}{}{} sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten
\mathdisp {\operatorname{Grad} \, \varphi_1 ( P ) , \ldots , \operatorname{Grad} \, \varphi_\ell ( P )} { }
für jeden Punkt von
\mathl{P\in M}{} senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus Korollar 83.6 und der \definitionsverweis {kanonischen Volumenform}{}{} $\omega$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau(P,v_1 , \ldots , v_m) }
{ =} { \pm \Vert { \operatorname{Grad} \, \varphi_1 ( P ) } \Vert \cdots \Vert { \operatorname{Grad} \, \varphi_\ell ( P ) } \Vert \omega(P, v_1 , \ldots , v_m) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besteht.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ definiert man zu einem Tangentialvektor
\mathl{v \in T_PM}{} die Norm durch
\mathl{\Vert {v} \Vert =\sqrt{ \left\langle v , v \right\rangle_P }}{.}


\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {TM} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass
\mathl{\R \times \R_+}{} mit der durch die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R_+} {\R } {(x,y)} {x^2+y^4 } {,} gegebenen Bilinearform eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man gebe für jeden Punkt
\mathl{P=(x,y,z)}{} der \definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{} $K$ eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} in
\mathl{T_PK \subset \R^3}{} an \zusatzklammer {bezüglich der induzierten \definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Im $\R^3$ sei das \definitionsverweis {Ellipsoid}{}{}
\mathdisp {E= { \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+3z^2 \leq 5 \right\} }} { }
und die Ebene
\mathdisp {M= { \left\{ (x,y,z) \mid 7x-3y-2z = 2 \right\} }} { }
gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts
\mathl{M \cap E}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung 84.4 beschriebene Situation anhand einer Fläche im $\R^3$ veranschaulicht.

}
{} {}