Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 84/latex
\setcounter{section}{84}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was ist die
\definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} auf $V$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {
{ \mathcal V } ( M ) } {
{ \mathcal E }^{ 1 } ( M )
} {F} {\omega_F
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \omega_F(P) \right) } (v)
}
{ \defeq} { \left\langle F(P) , v \right\rangle_P
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine offene Menge
\mathl{V \subseteq \R^n}{} als
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Was besagt die in
Lemma 84.3 beschriebene Korrespondenz zwischen
\definitionsverweis {Vektorfeldern}{}{}
und
$1$-\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} in dieser Situation?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte}{}{} \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {kanonische Volumenform}{}{} $\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert $1$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und $\lambda$ ein \definitionsverweis {translationsinvariantes Maß}{}{} auf $V$. Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {V \times \cdots \times V} {\R } {(v_1 , \ldots , v_n) } { \pm \lambda (P(v_1 , \ldots , v_n)) } {,} wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei einer
\definitionsverweis {riemannschen Mannigfaltigkeit}{}{}
die
\definitionsverweis {Kartenabbildungen}{}{}
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
im Allgemeinen keine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {T_P(\alpha)} {T_PU} {T_{\alpha(P)} V
} {}
induzieren
\zusatzklammer {wenn
\mathl{T_PU}{} mit
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle_P}{} und
\mathl{T_{\alpha(P)} V= \R^n}{} mit dem Standardskalarprodukt versehen ist} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten den Graph $M$ der Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R
} {(u,v)} { u^2+uv-v^3
} {,} als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des $\R^3$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (u,v,u^2+uv-v^3) \mid (u,v) \in \R^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der vom $\R^3$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei
\maabbeledisp {\psi} {\R^2} { M
} {(u,v)} { (u,v,u^2+uv-v^3)
} {,}
die zugehörige Diffeomorphie.
a) Bestimme das totale Differential zu $\psi$ sowie die Bildvektoren
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{.}
b) Bestimme für jeden Punkt der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (u,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Flächeninhalt des von
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{} aufgespannten Parallelogramms.
c) Bestimme für jeden Punkt der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (0,v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Flächeninhalt des von
\mathl{T_P(\psi) (e_1)}{} und
\mathl{T_P(\psi) (e_2)}{} in
\mathl{T_{\psi(P)}M}{} aufgespannten Parallelogramms.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R
} {}
\zusatzklammer {mit \mathlk{m=n -1 \geq 0}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,}
die in jedem Punkt der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
$M$ über
\mathl{0 \in \R}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus
Korollar 83.6
und der
\definitionsverweis {kanonischen Volumenform}{}{}
$\omega$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau(P,v_1 , \ldots , v_m)
}
{ =} { \pm \Vert {
\operatorname{Grad} \, \varphi ( P ) } \Vert \omega(P, v_1 , \ldots , v_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^\ell
} {}
\zusatzklammer {mit \mathlk{m=n - \ell \geq 0}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{,}
die in jedem Punkt der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
$M$ über
\mathl{0 \in \R^\ell}{}
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten
\mathdisp {\operatorname{Grad} \, \varphi_1 ( P ) , \ldots ,
\operatorname{Grad} \, \varphi_\ell ( P )} { }
für jeden Punkt von
\mathl{P\in M}{} senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus
Korollar 83.6
und der
\definitionsverweis {kanonischen Volumenform}{}{}
$\omega$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau(P,v_1 , \ldots , v_m)
}
{ =} { \pm \Vert {
\operatorname{Grad} \, \varphi_1 ( P ) } \Vert \cdots \Vert {
\operatorname{Grad} \, \varphi_\ell ( P ) } \Vert \omega(P, v_1 , \ldots , v_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ definiert man zu einem Tangentialvektor
\mathl{v \in T_PM}{} die Norm durch
\mathl{\Vert {v} \Vert =\sqrt{ \left\langle v , v \right\rangle_P }}{.}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Zuordnung \maabbeledisp {} {TM} {\R } {v} { \Vert {v} \Vert } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass
\mathl{\R \times \R_+}{} mit der durch die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} zur
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R \times \R_+} {\R
} {(x,y)} {x^2+y^4
} {,}
gegebenen Bilinearform eine
\definitionsverweis {riemannsche Mannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe für jeden Punkt
\mathl{P=(x,y,z)}{} der
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
$K$ eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
in
\mathl{T_PK \subset \R^3}{} an
\zusatzklammer {bezüglich der induzierten
\definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Im $\R^3$ sei das
\definitionsverweis {Ellipsoid}{}{}
\mathdisp {E= { \left\{ (x,y,z) \mid x^2+y^2+3z^2 \leq 5 \right\} }} { }
und die Ebene
\mathdisp {M= { \left\{ (x,y,z) \mid 7x-3y-2z = 2 \right\} }} { }
gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts
\mathl{M \cap E}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung ***** beschriebene Situation anhand einer Fläche im $\R^3$ veranschaulicht.
}
{} {}
| << | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III | >> |
|---|