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Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 83

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Aufwärmaufgaben

Es sei eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform . Zeige, dass

ist.



Zeige, dass das zu einer stetigen positiven Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in Definition 83.3 eingeführte Volumenmaß ein - endliches Maß ist.



Es sei

die Standard-Volumenform auf dem . Zeige, dass für jede messbare Teilmenge die Gleichheit

gilt.



Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer positiven Volumenform . Es sei messbar und eine Nullmenge. Zeige, dass

gilt.



Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es seien und positive Volumenformen auf . Zeige, dass für jede messbare Teilmenge und die Beziehung

gilt.



Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Zeige, wie man unter Bezug auf Karten „Nullmengen“ von erklären kann, ohne dass ein Maß gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine positive Volumenform gegeben ist, diese Nullmengen auch Nullmengen im Sinne der Maßtheorie sind.



Beschreibe den Einheitskreis als Faser einer Abbildung

derart, dass die gemäß Korollar 83.6 gegebene Volumenform positiv ist. Berechne .



Beschreibe die Einheitssphäre als Faser einer Abbildung

derart, dass die gemäß Korollar 83.6 gegebene Volumenform positiv ist. Berechne .



Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine messbare Differentialform mit der zurückgezogenen Differentialform und es sei

eine stetig differenzierbare Kurve ( ein reelles Intervall). Zeige, dass für die Wegintegrale die Gleichheit



Sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zu den folgenden Differentialformen

a) ,

b) ,

c) ,

d) .



Berechne das Wegintegral zu

für die -Differentialform

auf dem .



Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .

c) Berechne (ohne Bezug auf b)) das Wegintegral zur Differentialform zum Weg .



Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen

(mit ) und

und die Differentialform

auf dem .

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform auf dem .

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform zum Weg in Abhängigkeit von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine - dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie. Es sei eine positive Volumenform auf und es sei das durch diese Volumenform definierte Maß auf . Zeige, dass dann jede abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension eine Nullmenge ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen. Wir betrachten die stetig differenzierbare Kurve

Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

gegeben. Berechne das Wegintegral längs dieses Weges zur Differentialform .



Aufgabe (3 Punkte)

Begründe die einzelnen Gleichungen in der zweiten Gleichungskette im Beweis zu Lemma 83.2.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

  1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile
    [[/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
    schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
  2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort
     {{:Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

    ein.

  3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Gleichung ein.
  4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort
    [[Ihr Benutzername/Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]
    hinschreiben.



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