Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex

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\setcounter{section}{11}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {((4+{ \mathrm i})X^2-3X+9{ \mathrm i}) \cdot ((-3+7{ \mathrm i})X^2+(2+2{ \mathrm i})X-1+6{ \mathrm i})} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass die Multiplikation auf
\mathl{K[X]}{} assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das \zusatzklammer {konstante} {} {} Polynom $1$ neutrales Element der Multiplikation ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Ergebnis, wenn man im \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2-4X+7} { }
die Variable $X$ durch die \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} $2-5{ \mathrm i}$ ersetzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung \maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K } {P} {P(a) } {,} folgende Eigenschaften erfüllt \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$. }{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$. }{$1(a)=1$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ gilt: Wenn $P,Q \in K[X]$ beide ungleich $0$ sind, so ist auch $PQ \neq 0$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Grad}{}{} folgende Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungzwei { $\operatorname{grad} \, (P+Q) \leq \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}$, } { $\operatorname{grad} \, (P \cdot Q) = \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung \zusatzklammer {also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres} {} {} von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{} \zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R } {} Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f }
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f }
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gelten muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Schreibe das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3+2X^2-3X+4} { }
in der neuen Variablen $U=X+2$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Schreibe das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {Z^3-(2+ { \mathrm i})Z^2 +3{ \mathrm i}Z+4- 5{ \mathrm i}} { }
in der neuen Variablen $W =Z+ 2- { \mathrm i}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^3-1} { }
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $P \in \R[X]$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} mit \definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten und sei $z \in {\mathbb C}$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} von $P$. Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {konjugiert-komplexe Zahl}{}{} $\overline{ z }$ eine Nullstelle von $P$ ist.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jedes Polynom
\mathl{P \in K[X],\, P \neq 0,}{} eine Produktzerlegung
\mathdisp {P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q} { }
mit
\mathl{\mu_j \geq 1}{} und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $S,Q \in K[X]$ zwei Polynome mit $\operatorname{grad} \, (Q) \geq 1$. Zeige, dass es ein
\mathl{n \in \N}{} und eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { R_0 + R_1Q +R_2Q^2 + \cdots + R_n Q^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Polynomen $R_j$ vom Grad $< \operatorname{grad} \, (Q)$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_1 , \ldots , a_n \in K$ und $n$ Elemente $b_1 , \ldots , b_n \in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $\leq n-1$ gibt derart, dass $P(a_i)= b_i$ für alle $i$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit $d>0$ eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit $0 \leq r< d$ und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} {dq+r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem Körper
\mathl{K}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ { \frac{ P }{ Q } } \mid P,Q \in K[X] , \, Q \neq 0 \right\} }} { , }
wobei zwei Brüche
\mathl{{ \frac{ P }{ Q } }}{} und
\mathl{{ \frac{ P' }{ Q' } }}{} genau dann als gleich gelten, wenn
\mathl{P Q' =P'Q}{} ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} wieder rational ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{} \mathkor {} {f \circ g} {und} {g \circ f} {} der beiden \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
\mathdisp {f(x)= { \frac{ 2x^2-4x+3 }{ x-2 } } \text{ und } g(x)= { \frac{ x+1 }{ x^2-4 } }} { . }

}
{} {}

In einer der Aufgaben wird folgender Begriff verwendet.


Eine reelle Zahl $z$ heißt \definitionswort {algebraisch}{} oder \definitionswort {algebraische Zahl}{,} wenn es ein Polynom $P \in \Q[X]$, $P \neq 0$, mit $P(z) = 0$ gibt. Andernfalls heißt sie \definitionswort {transzendent}{.}


Beispielsweise sind rationale Zahlen und Wurzeln aus rationalen Zahlen algebraisch, dagegen sind $e$ und $\pi$ transzendent \zusatzklammer {das sind schwierige Sätze} {} {.}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( (4+{ \mathrm i})X^3- { \mathrm i}X^2+2X+3+2{ \mathrm i} \right) } \cdot { \left( (2-{ \mathrm i})X^3+(3-5 { \mathrm i})X^2+(2+{ \mathrm i})X+1+5{ \mathrm i} \right) }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(5+ { \mathrm i} )X^4+ { \mathrm i} X^2+(3-2 { \mathrm i} )X-1} {und} {T=X^2+ { \mathrm i} X+3- { \mathrm i}} {} durch.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1 }
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für $u$ ungerade.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} $f$ vom Grad
\mathl{\leq 3}{,} für welches
\mathdisp {f(0)=-1,\, f(-1) =-3,\, f(1) = 7,\, f(2) = 21} { }
gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $R=K[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { { \left\{ F \in K[X] \mid \text{Der Leitkoeffizient von } F \text{ ist positiv} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $P$ die drei folgenden Eigenschaften besitzt \aufzaehlungdrei{Entweder ist $F \in P$ oder $-F \in P$ oder $F=0$. }{Aus $F,G \in P$ folgt $F+G \in P$. }{Aus $F,G \in P$ folgt $F \cdot G \in P$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} $K[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} und
\mathdisp {Q=K(X)} { }
der \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} über $K$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 11.27, dass man $Q$ zu einem angeordneten Körper machen kann, der
\betonung{nicht}{} \definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Polynome}{}{} in einer Variablen mit \definitionsverweis {rationalen Koeffizienten}{}{} \definitionsverweis {abzählbar}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass die Menge der reellen transzendenten Zahlen überabzählbar ist.

}
{} {}


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