Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 12

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Die folgende Aufgabe verwendet die reelle Sinusfunktion, die wir später einführen werden. Im Moment muss man nur wissen, dass sie stetig und periodisch ist und dass sich ihre Werte zwischen und bewegen.

Aufgabe

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

stetig ist. Ist der Graph dieser Funktion „zeichenbar“?


Aufgabe

Sei eine Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einem nichtleeren offenen Intervall gilt.


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen und es seien

und

stetige Funktionen mit . Zeige, dass dann die Funktion

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte die durch

definierte Funktion stetig ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Teilmenge und

eine Funktion. Zeige, dass stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine reelle Folge und . Es sei

Die Funktion

sei durch

festgelegt. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Die folgende Aufgabe beschreibt eine Variante des Folgenkriteriums für die Stetigkeit.

Aufgabe *

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent.


Die nächsten beiden Aufgaben verwenden folgende Definition.

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt die Abbildung

die Einschränkung der Abbildung auf die Teilmenge .


Die Einschränkung wird mit bezeichnet.

Aufgabe

Es seien Teilmengen. Zeige, dass zu einer stetigen Funktion

auch die Einschränkung stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

derart, dass es keine (endliche) Zerlegung des Intervalls gibt, so dass die Einschränkungen stetig sind.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. Es ist
  2. Für jede Folge in , die gegen konvergiert, konvergiert auch die Bildfolge gegen .


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe

Es sei

eine Funktion und . Definiere die Begriffe „linksseitiger“ und „rechtsseitiger Grenzwert“ von in sowie den Begriff „Sprungstelle“.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge, wobei

ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion mit

in keinem Punkt stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.


Eine Funktion

heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.

Eine Funktion

heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man jede stetige Funktion

als

mit einer stetigen geraden Funktion und einer stetigen ungeraden Funktion schreiben kann.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen Funktionen

mit überabzählbar ist.



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