Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 12
- Übungsaufgaben
Die folgende Aufgabe verwendet die reelle Sinusfunktion, die wir später einführen werden. Im Moment muss man nur wissen, dass sie stetig und periodisch ist und dass sich ihre Werte zwischen und bewegen.
Es sei eine Teilmenge und sei
eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einem nichtleeren offenen Intervall gilt.
Es seien reelle Zahlen und es seien
und
stetige Funktionen mit . Zeige, dass dann die Funktion
mit
ebenfalls stetig ist.
Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.
Es sei eine reelle Folge und . Es sei
Die Funktion
sei durch
festgelegt. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn die Folge gegen konvergiert.
Die folgende Aufgabe beschreibt eine Variante
des Folgenkriteriums
für die Stetigkeit.
Es sei eine Teilmenge,
eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- ist stetig im Punkt .
- Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent.
Die nächsten beiden Aufgaben verwenden folgende Definition.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt die Abbildung
die Einschränkung der Abbildung auf die Teilmenge .
Die Einschränkung wird mit bezeichnet.
Es seien Teilmengen. Zeige, dass zu einer stetigen Funktion
auch die Einschränkung stetig ist.
Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion
mit der Eigenschaft, dass es keine (endliche) Zerlegung des Intervalls derart gibt, dass die Einschränkungen stetig sind.
Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei eine Funktion und . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
- Es ist
- Für jede Folge in , die gegen konvergiert, konvergiert auch die Bildfolge gegen .
Es sei
eine Funktion und . Definiere die Begriffe „linksseitiger“ und „rechtsseitiger Grenzwert“ von in sowie den Begriff „Sprungstelle“.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.
Eine Funktion heißt gerade, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Eine Funktion heißt ungerade, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass man jede stetige Funktion
als mit einer stetigen geraden Funktion und einer stetigen ungeraden Funktion schreiben kann.
Aufgabe (7 Punkte)
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