Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3-3x +1 } {.} Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}} { }
definierte Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein reelles Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {,} eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder streng fallend ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt{ { \frac{ 7n^2-4 }{ 3n^2-5n+2 } } }, \, n \in \N} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei rekursiv durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { \sqrt{ x_n+1 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme direkt, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Potenzfunktionen}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^n } {,} ein \definitionsverweis {Extremum}{}{} im Nullpunkt besitzen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {abgeschlossenen Intervalls}{}{} nicht abgeschlossen sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten \definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} derart, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein \definitionsverweis {Maximum}{}{} annimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} nicht offen sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} auf einem \definitionsverweis {reellen Intervall}{}{.} Die Funktion habe in den Punkten
\mathbed {x_1,x_2 \in I} {}
{x_1 < x_2} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {lokale Maxima}{}{.} Zeige, dass die Funktion zwischen \mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {} mindestens ein \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {[0,1[ } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {,} stetige Funktionen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (fg){{|}}_{[a-\epsilon,a+\epsilon]} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass die Einschränkung
\mathl{g{{|}}_{[a-\delta,a+\delta]}}{} die Nullfunktion ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.

Es sei $M$ eine Menge und \maabbdisp {f} {M} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ x }{ \betrag { x } +1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung \maabbdisp {f} {\R} {{]{-1},1[} } {} gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme das Minimum der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2+3x-5 } {.}

}
{} {(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)}

\inputaufgabe
{5}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b] } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} des \definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{7}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {wachsenden Funktionen}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\Q) }
{ \subseteq }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\leq 0}) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(\R_{\geq 1}) }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {überabzählbar}{}{} ist.

}
{} {}