Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Erläutere den Unterschied zwischen stetig und gleichmäßig stetig!

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine Polynomfunktion vom Grad ${}\geq 2$. Zeige, dass ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x<{\sqrt {2}}\,,\\1\,,{\text{ falls }}x>{\sqrt {2}}\,,\end{cases}}$

stetig, aber nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine beschränkte, monotone, stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,$

auf einen Intervall ${}I$ auch gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,$

derart, dass das Bild von ${}f$ beschränkt ist und ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon ]0,1[\longrightarrow \mathbb {R} ,$

derart, dass das Bild von ${}f$ beschränkt ist und ${}f$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

von ${}f$ gibt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer gleichmäßig stetigen Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}$

derart, dass keine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {Q}$

existiert.

Aufgabe

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl und ${}q=n/m\in \mathbb {Q}$. Zeige, dass die durch

${}b^{q}:={\left(b^{n}\right)}^{1/m}\,$

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ${}q$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{q+q'}=b^{q}\cdot b^{q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
2. Es ist ${}b^{-q}={\frac {1}{b^{q}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{q})^{q'}=b^{q\cdot q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{q}=a^{q}\cdot b^{q}$.

Aufgabe

Es sei ${}b>0$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die durch

${}{\sqrt[{k}]{b}}=b^{1/k}\,$

definierte Folge gegen ${}1$ konvergiert.

Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Lemma 14.9 für den Fall ${}b<1$ aus.

Aufgabe *

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

folgende Eigenschaften besitzt.

1. Es ist ${}b^{x+x'}=b^{x}\cdot b^{x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
2. Es ist ${}b^{-x}={\frac {1}{b^{x}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}x>0$ ist ${}b^{x}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{x})^{x'}=b^{x\cdot x'}$ für alle ${}x,x'\in \mathbb {R}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$

und Werte ${}y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{k-1},y_{k}\in \mathbb {R}$ gegeben. Unter der zugehörigen (stückweise) linearen Interpolation versteht man die Abbildung

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto g(x),$

die auf jedem Teilintervall ${}[x_{i},x_{i+1}]$ durch die affin-lineare Funktion gegeben ist, deren Graph die Punkte ${}(x_{i},y_{i})$ und ${}(x_{i+1},y_{i+1})$ durch eine gerade Strecke verbindet.

Diese Konstruktion kommt insbesondere dann zum Zuge, wenn eine gegebene Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

approximiert werden soll, wobei die Unterteilung gegeben ist und man ${}y_{i}=f(x_{i})$ nimmt.

Aufgabe

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und es sei eine Unterteilung

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$

und Werte ${}y_{0},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{k-1},y_{k}\in \mathbb {R}$ gegeben. Beschreibe die zugehörige lineare Interpolation durch funktionale Ausdrücke und zeige, dass es sich um eine stetige Funktion handelt.

Aufgabe *

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

In den folgenden Aufgaben bedeutet ${}C^{0}(T,{\mathbb {K} })$ die Menge der stetigen Funktionen von ${}T$ nach ${}{\mathbb {K} }$ (für eine Teilmenge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$) und ${}B\left(P,b\right)$ den abgeschlossenen Vollkreis in ${}{\mathbb {C} }$ mit Mittelpunkt ${}P$ und Radius ${}b$ (die Randpunkte gehören also dazu).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Quadratwurzelfunktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f{|}_{\mathbb {Q} },$

eine stetige Funktion wird also auf ihre Einschränkung auf ${}\mathbb {Q}$ abgebildet. Zeige, dass ${}\Psi$ injektiv, aber nicht surjektiv ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige unbeschränkte Funktion

$f\colon [0,2[\longrightarrow \mathbb {R} .$

Zeige, dass eine solche Funktion keine stetige Fortsetzung auf ${}[0,2]$ besitzt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$, ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ und

$f\colon B\left(P,b\right)\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

von ${}f$ gibt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}[a,b]$ ein reelles Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es eine Unterteilung

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{k-1}<x_{k}=b$

derart, dass die lineare Interpolation ${}g$ (zu dieser Unterteilung und zu ${}f$) die Eigenschaft

$\vert {f(x)-g(x)}\vert \leq \epsilon {\text{ für alle }}x\in [a,b]$

erfüllt.

(Bemerkung: Die vorstehende Aufgabe kann man so interpretieren, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn man mit einem beliebig dünnen Stift den Funktionsgraphen durch zusammenhängende (endlich viele, nicht vertikale) Geradenstücke übermalen kann.)