Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass ${}f$ konstant ist.

Aufgabe

Finde für die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{2}+x-1,

eine Nullstelle im Intervall ${}[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/100$ .

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$ , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$ , in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe

Zeige, dass die durch

f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}

definierte Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.

Aufgabe

Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,

eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass ${}f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

x_{n}={\sqrt {\frac {7n^{2}-4}{3n^{2}-5n+2}}},\,n\in \mathbb {N} .

Aufgabe

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei rekursiv durch ${}x_{0}=1$ und

{}x_{n+1}={\sqrt {x_{n}+1}}\,

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

mit der Eigenschaft, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls nicht abgeschlossen sein muss.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls ${}I\subseteq \mathbb {R}$ und einer stetigen Funktion

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

derart, dass das Bild von ${}f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

mit der Eigenschaft, dass das Bild eines offenen Intervalls nicht offen sein muss.

Aufgabe

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten ${}x_{1},x_{2}\in I$ , ${}x_{1}<x_{2}$ , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ mindestens ein lokales Minimum besitzt.

Aufgabe

Es sei

f\colon [0,1]\longrightarrow [0,1[

eine stetige Funktion. Zeige, dass ${}f$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Es seien

f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,

stetige Funktionen. Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ mit ${}f(a)\neq 0$ und es gebe ein ${}\epsilon >0$ mit ${}(fg){|}_{[a-\epsilon ,a+\epsilon ]}=0$ . Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass die Einschränkung ${}g{|}_{[a-\delta ,a+\delta ]}$ die Nullfunktion ist.