Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 13

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.


Aufgabe

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe

Zeige, dass die durch

definierte Funktion

nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Die Folge sei rekursiv durch und

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.


Aufgabe

Bestimme direkt, für welche die Potenzfunktionen

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

mit der Eigenschaft, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls nicht abgeschlossen sein muss.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

mit der Eigenschaft, dass das Bild eines offenen Intervalls nicht offen sein muss.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Es seien

stetige Funktionen. Es sei mit und mit . Zeige, dass es ein derart gibt, dass die Einschränkung die Nullfunktion ist.


Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.


Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Aufgabe

Zeige, dass durch

eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung

gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion

(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)

Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls in sich. Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass die Menge der stetigen wachsenden Funktionen

mit , mit und überabzählbar ist.


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