Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {x} {f(x)=x^n } {,}  für jedes $n \in \N$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} {{\mathbb C} } {x} {f(x)=x^n } {,}  für jedes $n \in \Z$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x)=x^{\frac{1}{n} } } {,}  für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x)=x^{q} } {,}  für jedes $q \in \Q$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme direkt \zusatzklammer {ohne Verwendung von Ableitungsregeln} {} {} die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3+2x^2-5x+3 } {,} in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+1 } {.} Bestimme die Tangenten an $f$, die lineare Funktionen sind \zusatzklammer {die also durch den Nullpunkt verlaufen} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^2 \right) }' }
{ =} { 2 f \cdot f' }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{fg }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( (f+g)^2- (f-g)^2 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {{\mathbb C} \setminus \{0\}} {{\mathbb C} } {x} {f(x)= \frac{x^2+ 1 }{ x^3} } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} einer \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} wieder eine rationale Funktion ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f(x)=x^3+4x^2-1$ und $g(y) =y^2-y+2$. Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} $h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{{ \frac{ x^2-1 }{ x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(y) }
{ = }{{ \frac{ y^2 }{ y-1 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von \mathkor {} {f} {und von} {g} {.}

b) Berechne die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x) }
{ = }{g(f(x)) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

c) Bestimme die Ableitung von $h$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f(x)=\frac{x^2+5x-2}{x+1}$ und $g(y) = \frac{y-2}{y^2+3}$. Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} $h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} $P\in {\mathbb C}[X]$ genau dann einen \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq d$ besitzt \zusatzklammer {oder $P=0$ ist} {} {,} wenn die $(d+1)$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $P$ das Nullpolynom ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktionen und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x) }
{ =} { (g(f(x)))^2 f(g(x)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Drücke die Ableitung $h'$ mit den Ableitungen von \mathkor {} {f} {und} {g} {} aus.

b) Es sei nun
\mathdisp {f(x)=x^2-1 \text{ und } g(x) =x+2} { . }
Berechne $h'(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

}
{} {}


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die $n$-fache \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \zusatzklammer {\mathlk{n \geq 1}{}} {} {}
\mathdisp {f^{\circ n} =f \circ f \circ \cdots \circ f \, \, \, ( n\text{ mal} )} { }
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( f^{\circ n} \right) }' }
{ =} { f' \cdot \prod_{i = 1}^{n-1} { \left( f' \circ f^{\circ i} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, aber nicht zweimal \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linie und Viertelkreis.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Linie und Viertelkreis.png } {MGausmann} {} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Funktion \maabbdisp {f} {\R_{< 1} } { \R } {} sei für negatives $x$ konstant gleich $0$ und folge für
\mathl{x \in [0,1[}{} dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt
\mathl{(0,1)}{} und Radius $1$. Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} zwei $n$-mal \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f \cdot g)^{(n)} }
{ =} {\sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } f^{(k)} \cdot g^{(n-k)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {f(z) } {,} ein Polynom vom Grad $d \geq 2$ und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $0$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)-t(z) }
{ =} { z^2 g(z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem Polynom
\mathl{g(z)}{} vom Grad
\mathl{d-2}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {f(z) } {,} ein Polynom vom Grad $d \geq 2$,
\mathl{w \in {\mathbb C}}{} ein Punkt und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $w$. Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)-t(z) }
{ =} { (z-w)^2 g(z) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem Polynom
\mathl{g(z)}{} vom Grad
\mathl{d-2}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {{\mathbb C} } {x} {f(x)= \frac{x^2+x-1 }{ x^3-x+2} } {,}

wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme, ob die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \overline{ z } } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und seien \maabbdisp {f_i} {D} { {\mathbb K} , \, i = 1 , \ldots , n } {,} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f_1 { \cdots } f_n)' }
{ =} { \sum_{i = 1}^n f_1 { \cdots } f_{i-1} f_{i}' f_{i+1} { \cdots } f_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $P\in {\mathbb C}[X]$ ein \definitionsverweis {Polynom}{}{,} $a \in {\mathbb C}$ und $n \in \N$. Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a)^n$ ist, wenn $a$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} sämtlicher \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $P,P^\prime ,P^{\prime \prime} , \ldots , P^{(n-1)}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {F} {D} {{\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine \zusatzklammer {höhere} {} {} \definitionsverweis {Ableitung}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{(n)} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}