Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Die folgende Aufgabe löse man direkt ohne Ableitungsregeln und durch Induktion mit Hilfe der Produktregel.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:ℂ⟶ℂ,x⟼f(x)=x^n,$

 für jedes $n\in \mathbb{N}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:ℂ\setminus \{0\}⟶ℂ,x⟼f(x)=x^n,$

 für jedes $n\in \mathbb{Z}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=x^{\frac{1}{n}},$

 für jedes  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=x^q,$

 für jedes $q\in \mathbb{Q}$.

Aufgabe *

Bestimme direkt (ohne Verwendung von Ableitungsregeln) die Ableitung der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=x^3+2x^2-5x+3,$

in einem beliebigen Punkt  $a\in ℝ$. 

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=x^2+1.$

Bestimme die Tangenten an $f$, die lineare Funktionen sind (die also durch den Nullpunkt verlaufen).

Aufgabe *

Zeige, dass die reelle Betragsfunktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼|x|,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

$\left(f^2\right)=2f\cdot f^{\prime }$

mithilfe von

$fg=\frac{1}{4}((f+g{)}^2-(f-g{)}^2).$

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:ℂ\setminus \{0\}⟶ℂ,x⟼f(x)=\frac{x^2+1}{x^3}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei $f(x)=x^3+4x^2-1$ und $g(y)=y^2-y+2$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung $h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe *

Es sei  $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$  und  $g(y)=\frac{y^2}{y-1}$. 

a) Bestimme die Ableitung von $f$ und von $g$.

b) Berechne die Hintereinanderschaltung  $h(x)=g(f(x))$. 

c) Bestimme die Ableitung von $h$ mithilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von $h$ mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Es sei $f(x)=\frac{x^2+5x-2}{x+1}$ und $g(y)=\frac{y-2}{y^2+3}$. Bestimme die Ableitung der Hintereinanderschaltung $h(x)=g(f(x))$ direkt und mittels der Kettenregel.

Aufgabe

Zeige, dass ein Polynom $P\in ℂ[X]$ genau dann einen Grad $\le d$ besitzt (oder $P=0$ ist), wenn die $(d+1)$-te Ableitung von $P$ das Nullpolynom ist.

Aufgabe *

Es seien

$f,g:ℝ⟶ℝ$

zwei differenzierbare Funktionen und sei

$h(x)=(g(f(x)){)}^{2}f(g(x)).$

a) Drücke die Ableitung $h^{\prime }$ mit den Ableitungen von $f$ und $g$ aus.

b) Es sei nun

$f(x)=x^2-1\text{ und }g(x)=x+2.$

Berechne $h^{\prime }(x)$ auf zwei verschiedene Arten, einerseits über $h(x)$ und andererseits über die Formel aus Teil a).

Aufgabe *

Es sei

$f:ℝ⟶ℝ$

eine differenzierbare Funktion. Zeige durch Induktion, dass für die $n$-fache Hintereinanderschaltung ($n\ge 1$)

$f^{\circ n}=f\circ f\circ \cdots \circ f(n\text{ mal})$

die Beziehung

$\left(f^{\circ n}\right)=f^{\prime }\cdot \prod _{i=1}^{n-1}(f^{\prime }\circ f^{\circ i})$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼x|x|,$

differenzierbar ist, aber nicht zweimal differenzierbar.

Aufgabe

Die Funktion

$f:{ℝ}_{<1}⟶ℝ$

sei für negatives $x$ konstant gleich $0$ und folge für $x\in [0,1[$ dem unteren rechten Viertelkreis mit Mittelpunkt $(0,1)$ und Radius $1$. Bestimme den Grad der Differenzierbarkeit dieser Funktion.

Aufgabe *

Es sei  $I\subseteq ℝ$  und seien

$f,g:I⟶ℝ$

zwei $n$-mal differenzierbare Funktionen. Zeige, dass

$(f\cdot g{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f:ℂ⟶ℂ,z⟼f(z),$

ein Polynom vom Grad $d\ge 2$ und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $0$. Zeige die Beziehung

$f(z)-t(z)=z^{2}g(z)$

mit einem Polynom $g(z)$ vom Grad $d-2$.

Aufgabe *

Es sei

$f:ℂ⟶ℂ,z⟼f(z),$

ein Polynom vom Grad $d\ge 2$, $w\in ℂ$ ein Punkt und $t(z)$ die Tangente an $f$ im Punkt $w$. Zeige die Beziehung

$f(z)-t(z)=(z-w{)}^{2}g(z)$

mit einem Polynom $g(z)$ vom Grad $d-2$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$f:D⟶ℂ,x⟼f(x)=\frac{x^2+x-1}{x^3-x+2},$

wobei $D$ die Menge sei, auf der das Nennerpolynom nicht verschwindet.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die komplexe Konjugation

$ℂ⟶ℂ,z⟼\bar{z},$

differenzierbar ist oder nicht.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $D\subseteq 𝕂$  offen und seien

$f_i:D⟶𝕂,i=1,\dots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

$(f_1\cdots f_n{)}^{\prime }=\sum _{i=1}^n{f}_1\cdots f_{i-1}{f}_{i^{\prime }}{f}_{i+1}\cdots f_n.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $P\in ℂ[X]$  ein Polynom,  $a\in ℂ$  und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a{)}^n$ ist, wenn $a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen $P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\dots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$F:D⟶ℂ$

eine rationale Funktion. Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit  $F^{(n)}=0$  gibt.