Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 19
- Übungsaufgaben
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von ist?
Betrachte die Funktion
die durch
definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
Betrachte die Funktion
Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.
Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion
vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion
Wir betrachten die Funktion
a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.
b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.
Betrachte die Funktion
Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.
Es sei
a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.
b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.
c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.
Es sei ein Intervall und es sei
die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung
eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.
Bestimme den Grenzwert von
im Punkt , und zwar
a) mittels Polynomdivision,
b) mittels der Regel von l'Hospital.
Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion
Aufgabe (4 Punkte)
Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion
hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine Polynomfunktion vom Grad . Es sei die Anzahl der lokalen Maxima von und die Anzahl der lokalen Minima von . Zeige, dass bei ungerade und bei gerade ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form
(mit , ), keine lokalen Extrema besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)
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