Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 4/latex

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\setcounter{section}{4}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe fünf \definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{} an, die \zusatzklammer {echt} {} {} zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 8 } }} {und} {{ \frac{ 7 }{ 8 } }} {} liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\Q$ mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } } }
{ \geq }{ { \frac{ c }{ d } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bei \mathlk{b,d \in \N_+}{}} {} {,} falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad }
{ \geq }{cb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $\Z$ gilt, definierten Beziehung ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} ist \zusatzklammer {dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf $\Z$ verwendet werden} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {p} {und} {q} {} größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x \in K$. Zeige, dass
\mathl{x > 0}{} genau dann gilt, wenn $-x < 0$ ist.

}
{(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für jedes $x \in K$ die Beziehung $x^2=xx \geq 0$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die folgenden Aussagen:

In einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} gelten die folgenden Eigenschaften. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ \geq }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ \leq }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x>0$. Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ positiv ist.

}
{Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x \geq 1$. Zeige, dass für das inverse Element $x^{-1} \leq 1$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x>y>0$. Zeige, dass für die \definitionsverweis {inversen Elemente}{}{} $x^{-1}< y^{-1}$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x,y \geq 0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2 }
{ \geq }{y^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der in Aufgabe 3.22 konstruierte \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ nicht \definitionsverweis {angeordnet}{}{} werden kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die in Aufgabe 3.6 eingeführte Abbildung \maabbeledisp {} {\Z} {K } {n} {n_K } {,} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { d+n } { n} }
{ \geq} { { \left( { \frac{ d }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2n^n }
{ \leq} {(n+1)^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{n\in \N_+}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n! }
{ \leq} { { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{n \in \N_+}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien $x<y$ Elemente in $K$. Zeige, dass für das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} $\frac{x+y}{2}$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} {\frac{x+y}{2} }
{ <} {y }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Intervalle}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 4x-3 } }
{ <} { \betrag { 2x-3 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { { \frac{ x-2 }{ 3x-1 } } } }
{ \leq} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass in $K$ die \zusatzklammer {positiven} {} {} Elemente \mathkor {} {8^{1/2}} {und} {25^{1/3}} {} existieren. Welches ist größer?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {K \times K} {K } {(x,y)} { \operatorname{min} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die folgenden Eigenschaften für die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {K} {K } {x} { \betrag { x } } {,} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} \zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$} {} {.} \aufzaehlungacht{ $\betrag { x } \geq 0$. }{ $\betrag { x } = 0$ genau dann, wenn $x=0$ ist. }{ $\betrag { x } = \betrag { y }$ genau dann, wenn $x= y$ oder $x=-y$ ist. }{ $\betrag { y-x } =\betrag { x-y }$. }{ $\betrag { xy } = \betrag { x } \betrag { y }$. }{Für $x \neq 0$ ist $\betrag { x^{-1} } = \betrag { x }^{-1}$. }{Es ist $\betrag { x+y } \leq \betrag { x } + \betrag { y }$ \zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y } }
{ \geq} { \betrag { x } - \betrag { y } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Unter welchen Bedingungen gilt für \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
\mathl{a_1,a_2 , \ldots , a_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n a_i } }
{ =} { \sum_{i=1}^n \betrag { a_i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die halboffenen Intervalle
\mathdisp {{[n,n+1[} ={ \left\{ x \in K \mid x \geq n \text{ und } x < n+1 \right\} }, \, n \in \Z} { , }
eine disjunkte Überdeckung von $K$ bilden.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} bei dem eine Teilmenge $P\subseteq K$ ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt. \aufzaehlungdrei{Für $x \in K$ ist entweder $x \in P$ oder $-x \in P$ oder $x=0$. }{Aus $x,y \in P$ folgt $x+y \in P$. }{Aus $x,y \in P$ folgt $x \cdot y \in P$. } Zeige, dass durch die Festlegung
\mathdisp {x \geq y \text{ genau dann, wenn } x=y \text{ oder } x-y \in P} { }
ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} entsteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4 (1+3)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Betrachte die in Aufgabe 3.6 konstruierte Zuordnung $\Z \rightarrow K$.

a) Zeige, dass diese Zuordnung \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer Zuordnung $\Q \subseteq K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die \definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{} in $\Q$ mit den Verknüpfungen in $K$ übereinstimmen und die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} auf $\Q$ mit der Ordnung auf $K$ übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{8 (2+4+1+1)}
{

Betrachte die Menge
\mathdisp {K={ \left\{ p+q \sqrt{5} \mid p,q \in \Q \right\} }} { , }
wobei $\sqrt{5}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass $\sqrt{5}^2=5$ ist und dass $K$ zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} wird.

b) Definiere eine \definitionsverweis {Ordnung}{}{} derart, dass $K$ zu einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} wird und dass $\sqrt{5}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von $K$ als Punkte im $\Q^2$ auf. Skizziere eine Trennlinie im $\Q^2$, die die positiven von den negativen Elementen in $K$ trennt.

d) Ist das Element $23-11 \sqrt{5}$ positiv oder negativ?

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die \definitionsverweis {Bernoullische Ungleichung}{}{} zum Exponenten $n=3$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien $x_1 , \ldots , x_n \in K$ Elemente. Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n x_i } }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}


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