Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $a\in K$.  Zeige, dass die Gleichung  $x^2=a$  höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass es in $\mathbb{Q}$ kein Element $x$ mit  $x^2=2$  gibt.

Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=3$.

Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu  $b=7$  mit dem Startwert  $x_0=3$  durch (es sollen also die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert $x_0$ die Quadratwurzel von $c\in {ℝ}_{+}$ berechnen möchte?

Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl $c\in {ℝ}_{-}$ (mit einem positiven Startwert $x_0$) berechnen möchte?

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass $K$ genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche $\frac{1}{n},n\ge 1$, gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe

Betrachte die folgenden (Pseudo)-Definitionen.

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in einem angeordneten Körper $K$ und es sei  $x\in K$. 

1. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, und alle  $n\in \mathbb{N}$  gilt die Beziehung

   $|x_n-x|\le ϵ.$

2. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ\ge 0$, gibt es ein $n_0\in \mathbb{N}$ derart, dass für alle $n\ge n_0$ die Beziehung

   $|x_n-x|\le ϵ$

   gilt.

3. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $n_0\in \mathbb{N}$ derart, dass für alle $n\ge n_0$ und jedes $ϵ\in K$, $ϵ>0$, die Beziehung

   $|x_n-x|\le ϵ$

   gilt.

4. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, gibt es ein $n\in \mathbb{N}$ derart, dass die Beziehung

   $|x_n-x|\le ϵ$

   gilt.

5. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, und jedem $n_0\in \mathbb{N}$ gibt es ein $n\in \mathbb{N}$, $n\ge n_0$, derart, dass die Beziehung

   $|x_n-x|\le ϵ$

   gilt.

6. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $ϵ\in K$, $ϵ>0$, derart, dass für alle $n\in \mathbb{N}$ die Beziehung

   $|x_n-x|\le ϵ$

   gilt.

7. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein $ϵ\in K$, $ϵ>0$, und ein $n_0\in \mathbb{N}$ derart, dass für alle $n\ge n_0$ die Beziehung

   $|x_n-x|\le ϵ$

   gilt.

8. Man sagt, dass die Folge gegen $x$ deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, gibt es ein $n_0\in \mathbb{N}$ derart, dass für alle $n\ge n_0$ die Beziehung

   $x_n-x\le ϵ$

   gilt.

Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation (Beweis oder Gegenbeispiel)? Für welche Definitionen ist das $x$ eindeutig bestimmt?

Aufgabe

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine gegen $x$ konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen $x$ konvergiert.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.

Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen $M\subseteq \mathbb{Q}$ auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

1. $\{2,-3,-4,5,6,-1,1\}$,
2. $\{\frac{1}{2},\frac{-3}{7},\frac{-4}{9},\frac{5}{9},\frac{6}{13},\frac{-1}{3},\frac{1}{4}\}$,
3. $]-5,2]$,
4. $\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}$,
5. $\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}\cup \{0\}$,
6. ${\mathbb{Q}}_{-}$,
7. $\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2\le 2\}$,
8. $\{x\in \mathbb{Q}\mid x^2\le 4\}$,
9. $\{x^2\mid x\in \mathbb{Z}\}$.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $M\subseteq K$ eine Teilmenge, die ein Supremum $T$ besitze. Zeige, dass $T$ genau dann das Maximum von $M$ ist, wenn $T\in M$ ist.

Aufgabe *

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr $7:21$ (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie $7:26$ an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen $f_n$ ist rekursiv durch

$f_1:=1,f_2:=1\text{ und }{f}_{n+2}:=f_{n+1}+f_n$

definiert.

Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen $f_n$. Sie besagt (für $n\ge 2$)

$f_{n+1}{f}_{n-1}-f_n^2=(-1{)}^n.$

Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

$f_n=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n}{\sqrt{5}}$

gilt ($n\ge 0$).

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $K$ mit $x_n>0$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen $+\mathrm{\infty }$ ist, wenn ${\left(\frac{1}{x_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Man gebe ein Beispiel einer Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, für die es sowohl eine bestimmt gegen $+\mathrm{\infty }$ als auch eine bestimmt gegen $-\mathrm{\infty }$ divergente Teilfolge gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine bestimmt gegen $+\mathrm{\infty }$ divergente Folge in $K$ nach unten beschränkt ist.

Man gebe ein Beispiel einer Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, die nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, und die nicht bestimmt divergent gegen $+\mathrm{\infty }$ ist.

Aufgabe

Bestimme alle Häufungspunkte der Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$, welche durch

$a_n=(-1{)}^n(1-\frac{1}{n})-\frac{1}{n}$

gegeben ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine konvergente Folge in $K$ mit Grenzwert $x$. Zeige, dass dann auch die Folge

${(|x_n|)}_{n\in \mathbb{N}}$

konvergiert, und zwar gegen $|x|$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper und  $x\in K$  mit  $|x|<1$.  Zeige, dass die Folge

$x_n:=x^n$

gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

${\left(\frac{n}{2^n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

gegen $0$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ und ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in einem angeordneten Körper $K$ mit $x_n\ne 0$, $n\in \mathbb{N}$, und mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$ derart, dass die Folge

${\left(\frac{y_n}{x_n}\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

1. gegen $0$ konvergiert,
2. gegen $1$ konvergiert,
3. divergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge und  $x\in ℝ$.  Zeige, dass $x$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen $x$ konvergente Teilfolge gibt.