Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 5

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass es in kein Element mit gibt.


Aufgabe

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe *

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man mit einem negativen Startwert die Quadratwurzel von berechnen möchte?


Aufgabe

Was passiert beim babylonischen Wurzelziehen, wenn man die Quadratwurzel einer negativen Zahl (mit einem positiven Startwert ) berechnen möchte?


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche , gegen konvergiert.


Aufgabe

Betrachte die folgenden (Pseudo)-Definitionen.


Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei .

  1. Man sagt, dass die Folge gegen hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und alle gilt die Beziehung
  2. Man sagt, dass die Folge gegen supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein derart, dass für alle und jedes , , die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass die Folge gegen pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass die Folge gegen semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und jedem gibt es ein , , derart, dass die Beziehung

    gilt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Man sagt, dass die Folge gegen quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , und ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  8. Man sagt, dass die Folge gegen deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.


Vergleiche diese Definitionen mit der Definition von Konvergenz. Worin besteht der Unterschied? Welche Bedeutung haben die einzelnen Definitionen? Welche Definitionen sind zueinander äquivalent, zwischen welchen besteht eine Implikation (Beweis oder Gegenbeispiel)? Für welche Definitionen ist das eindeutig bestimmt?


Aufgabe

Es sei eine gegen konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen konvergiert.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Folge, die nicht konvergiert, aber eine konvergente Teilfolge enthält.


Aufgabe

Man untersuche die folgenden Teilmengen auf die Begriffe obere Schranke, untere Schranke, Supremum, Infimum, Maximum und Minimum.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. .


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und eine Teilmenge, die ein Supremum besitze. Zeige, dass genau dann das Maximum von ist, wenn ist.


Aufgabe *

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.


In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch


Aufgabe *

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Aufgabe

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in mit für alle . Zeige, dass die Folge genau dann bestimmt divergent gegen ist, wenn gegen konvergiert.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Man gebe ein Beispiel einer Folge , für die es sowohl eine bestimmt gegen als auch eine bestimmt gegen divergente Teilfolge gibt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine bestimmt gegen divergente Folge in nach unten beschränkt ist.

Man gebe ein Beispiel einer Folge , die nach unten, aber nicht nach oben beschränkt ist, und die nicht bestimmt divergent gegen ist.


Aufgabe

Bestimme alle Häufungspunkte der Folge , welche durch

gegeben ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die Folge

konvergiert, und zwar gegen .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und mit . Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen und in einem angeordneten Körper mit , , und mit derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine reelle Folge und . Zeige, dass genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen konvergente Teilfolge gibt.



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