Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe fünf rationale Zahlen an, die (echt) zwischen $\frac{3}{8}$ und $\frac{7}{8}$ liegen.

Aufgabe

Zeige, dass $\mathbb{Q}$ mit der durch  $\frac{a}{b}\ge \frac{c}{d}$  (bei $b,d\in {\mathbb{N}}_{+}$), falls  $ad\ge cb$  in $\mathbb{Z}$ gilt, definierten Beziehung ein angeordneter Körper ist (dabei dürfen nur Eigenschaften der Ordnung auf $\mathbb{Z}$ verwendet werden).

Aufgabe *

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen $p$ und $q$ größer ist.

$p=\frac{573}{-1234}\text{ und }q=\frac{-2007}{4322}.$

Aufgabe *

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

Aufgabe *

Zwei Fahrradfahrer, $A$ und $B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x\in K$. Zeige, dass $x>0$ genau dann gilt, wenn $-x<0$ ist.

(Bemerkung: Diese Aussage kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf!)

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass für jedes $x\in K$ die Beziehung $x^2=xx\ge 0$ gilt.

Aufgabe

Beweise die folgenden Aussagen:

In einem angeordneten Körper gelten die folgenden Eigenschaften.

1.  $1>0$, 
2. Aus  $a\ge b$  und  $c\ge 0$  folgt  $ac\ge bc$, 
3. Aus  $a\ge b$  und  $c\le 0$  folgt  $ac\le bc$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x>y$. Zeige, dass dann $-x<-y$ ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $x>0$.  Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ positiv ist.

Man folgere daraus, dass die positiven Elemente in einem angeordneten Körper bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bilden.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $x\ge 1$.  Zeige, dass für das inverse Element  $x^{-1}\le 1$  gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $x>y>0$.  Zeige, dass für die inversen Elemente  $x^{-1}<y^{-1}$  gilt.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und $x,y\ge 0$. Zeige, dass  $x\ge y$  genau dann gilt, wenn  $x^2\ge y^2$  gilt.

Aufgabe

Zeige, dass der in Aufgabe 3.22 konstruierte Körper $K$ nicht angeordnet werden kann.

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die in Aufgabe 3.6 eingeführte Abbildung

$\mathbb{Z}⟶K,n⟼n_K,$

injektiv ist.

Aufgabe

Zeige die Abschätzung

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+n}{n})\ge {\left(\frac{d}{n}\right)}^n.$

Aufgabe

Zeige die Abschätzung

$2n^n\le (n+1{)}^n$

für  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Aufgabe

Zeige die Abschätzung

$n!\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n$

für  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und es seien $x<y$ Elemente in $K$. Zeige, dass für das arithmetische Mittel $\frac{x+y}{2}$ die Beziehung

$x<\frac{x+y}{2}<y$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die Intervalle in einem angeordneten Körper $K$, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen sind.

a)

$|4x-3|<|2x-3|.$

b)

$|\frac{x-2}{3x-1}|\le 1.$

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in $K$ die (positiven) Elemente $8^{1/2}$ und $25^{1/3}$ existieren. Welches ist größer?

Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Man untersuche die Verknüpfung

$K\times K⟶K,(x,y)⟼\min (x,y),$

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe

Beweise die folgenden Eigenschaften für die Betragsfunktion

$K⟶K,x⟼|x|,$

in einem angeordneten Körper (dabei seien $x,y$ beliebige Elemente in $K$).

1. Es ist  $|x|\ge 0$. 
2. Es ist  $|x|=0$  genau dann, wenn  $x=0$  ist.
3. Es ist  $|x|=|y|$  genau dann, wenn  $x=y$  oder  $x=-y$  ist.
4. Es ist  $|y-x|=|x-y|$. 
5. Es ist  $|xy|=|x||y|$. 
6. Für  $x\ne 0$  ist  $|x^{-1}|=|x{|}^{-1}$. 
7. Es ist  $|x+y|\le |x|+|y|$  (Dreiecksungleichung für den Betrag).
8. Es ist  $|x+y|\ge |x|-|y|$. 

Aufgabe

Unter welchen Bedingungen gilt für reelle Zahlen $a_1,a_2,\dots ,a_n$ die Gleichheit

$|\sum _{i=1}^n{a}_i|=\sum _{i=1}^n|a_i|?$

Aufgabe

Es sei $K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

$[n,n+1[=\{x\in K\mid x\ge n\text{ und }x<n+1\},n\in \mathbb{Z},$

eine disjunkte Überdeckung von $K$ bilden.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, bei dem eine Teilmenge  $P\subseteq K$  ausgezeichnet sei, die den folgenden Bedingungen genügt.

1. Für $x\in K$ ist entweder $x\in P$ oder $-x\in P$ oder $x=0$.
2. Aus $x,y\in P$ folgt $x+y\in P$.
3. Aus $x,y\in P$ folgt $x\cdot y\in P$.

Zeige, dass durch die Festlegung

$x\ge y\text{ genau dann, wenn }x=y\text{ oder }x-y\in P$

ein angeordneter Körper entsteht.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Betrachte die in Aufgabe 3.6 konstruierte Zuordnung $\mathbb{Z}\to K$.

a) Zeige, dass diese Zuordnung injektiv ist.

b) Zeige, dass man diese Zuordnung zu einer injektiven Abbildung $\mathbb{Q}\to K$ fortsetzen kann, und zwar derart, dass die Verknüpfungen in $\mathbb{Q}$ mit den Verknüpfungen in $K$ übereinstimmen und die Ordnung auf $\mathbb{Q}$ mit der Ordnung auf $K$ übereinstimmt.

Aufgabe (8 (2+4+1+1) Punkte)

Betrachte die Menge

$K=\{p+q\sqrt{5}\mid p,q\in \mathbb{Q}\},$

wobei $\sqrt{5}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass  ${\sqrt{5}}^2=5$  ist und dass $K$ zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass $K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass $\sqrt{5}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von $K$ als Punkte im ${\mathbb{Q}}^2$ auf. Skizziere eine Trennlinie im ${\mathbb{Q}}^2$, die die positiven von den negativen Elementen in $K$ trennt.

d) Ist das Element $23-11\sqrt{5}$ positiv oder negativ?

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten  $n=3$  gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und seien  $x_1,\dots ,x_n\in K$  Elemente. Zeige, dass dann

$|\sum _{i=1}^n{x}_i|\le \sum _{i=1}^n|x_i|$

gilt.