Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 8/latex

\setcounter{section}{8}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+bi$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für reelle Zahlen die Addition und die Multiplikation als reelle Zahlen und als komplexe Zahlen übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {komponentenweisen}{}{} Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die folgenden Teilmengen. \aufzaehlungdrei{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \geq -3 \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } \leq 2 \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 5 \right\} }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Berechne
\mathdisp {(4-7 { \mathrm i})(5+3 { \mathrm i})} { . }

b) Bestimme das inverse Element
\mathl{z^{-1}}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { 3+4 { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Welchen Abstand hat $z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z }
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde zu einer \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} {a+b { \mathrm i} }
{ \neq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die folgenden Aussagen zu \definitionsverweis {Real}{}{-} und \definitionsverweis {Imaginärteil}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Re} \, { \left( w \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) } }
{ = }{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathdisp {(x+ { \mathrm i} y)^n} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} folgende Rechenregeln gelten. \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z+ \overline{ z } }{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z^{-1} }
{ = }{ { \frac{ \overline{ z } }{ \betrag { z }^2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Regeln für den \definitionsverweis {Betrag}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsieben{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ =} { \betrag { \overline{ z } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw } }
{ =} { \betrag { z } \betrag { w } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { 1/z } }
{ = }{ 1/ \betrag { z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } }
{ \leq} { \betrag { z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine Folge komplexer Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n }
{ =} {x_n + { \mathrm i} y_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn sowohl $x_n$ als auch $y_n$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Für den Grenzwert gilt dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} z_n }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} x_n + { \mathrm i} \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{} in ${\mathbb C}$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungfuenf{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n+y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n+y_n) = ( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n) + ( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n)} { . }
}{Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ist konvergent und es gilt
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} (x_n \cdot y_n) = ( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n) \cdot ( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n)} { . }
}{Für
\mathl{c \in {\mathbb C}}{} gilt
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} cx_n =c ( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n)} { . }
}{Es sei
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{} und
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle $n \in \N$. Dann ist
\mathl{{ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}= \frac{1}{x}} { . }
}{Es sei
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{} und
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Dann ist ${ \left( \frac{y_n}{x_n} \right) }_{ n \in \N }$ ebenfalls konvergent mit
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{y_n}{x_n}= \frac{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }{x}} { . }
}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge ${ \left( z^n \right) }_{ n \in \N }$ gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Folge ${ \left( z^n \right) }_{ n \in \N }$ \definitionsverweis {divergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die in Beispiel 8.11 angegebene Formel für die \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} einer \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ a+b { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ az^2+bz+c }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mindestens eine komplexe Lösung $z$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a,b,c \in {\mathbb C}$ mit $a \neq 0$. Man charakterisiere, wann es für die Gleichung
\mathdisp {az^2+bz+c=0} { }
genau eine Lösung in ${\mathbb C}$ gibt und wann zwei Lösungen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man bestimme die beiden komplexen Lösungen der Gleichung
\mathdisp {z^2+5 { \mathrm i} z-3=0} { . }

}
{} {}

Der Begriff eines Häufungspunktes lässt sich unmittelbar auf komplexe Folgen erweitern.


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} der \definitionsverweis {komplexen}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} ${ \left( { \mathrm i}^n \right) }_{ n \in \N }$. Man gebe für jeden Häufungspunkt eine \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} an, die gegen diesen Punkt \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1,2,3,4,5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} die folgenden Rechenregeln gelten. \aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z+w } }
{ = }{ \overline{ z } + \overline{ w } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ -z } }
{ = }{ - \overline{ z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z \cdot w } }
{ = }{ \overline{ z } \cdot \overline{ w } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 1/z } }
{ = }{ 1/\overline{ z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \overline{ z } } }
{ = }{ z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${ \mathrm i}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Man finde alle drei komplexen Zahlen $z$, die die Bedingung
\mathdisp {z^3=1} { }
erfüllen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es seien $n$ komplexe Zahlen
\mathl{z_1,z_2 , \ldots , z_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 1 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \betrag { z_i-w } }
{ \geq} { n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}