Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 7
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Zeige, dass das Quadrieren
eine wachsende Funktion ist. Man folgere daraus, dass auch die Quadratwurzel
eine wachsende Funktion ist.
Aufgabe
Zeige, dass für nichtnegative reelle Zahlen und die Beziehung
Aufgabe *
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln , , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.
Tipp: Satz des Pythagoras.
Aufgabe
Zeige, dass man zu jeder gegebenen Streckenlänge (also jedem ) die Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Tipp: Satz des Pythagoras und Bild rechts.
Aufgabe *
Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung
mit , .
Aufgabe *
Es sei eine reelle Zahl, von welcher der Beginn der kanonischen Dezimalbruchentwicklung gleich
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle 0{,}3333333333\dotso }
(die weiteren Ziffern sind nicht bekannt). Was kann man über die Dezimalbruchentwicklung von sagen? In welchem (möglichst kleinen) Intervall liegt ?
Aufgabe
Die beiden reellen Zahlen und seien durch ihre Dezimalbruchentwicklung
und
gegeben. Man gebe unter Bezug auf diese Ziffernentwicklungen eine Folge mit rationalen Gliedern an, die gegen konvergiert.
Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die beiden folgenden Definitionen.
Aufgabe *
Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.
Aufgabe
Es seien Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} b > a > 0} positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch
Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.
Aufgabe
Es sei , , eine Intervallschachtelung in und sei eine reelle Folge mit für alle . Zeige, dass diese Folge gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl konvergiert.
Aufgabe
Untersuche die durch
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle x_n = \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }
gegebene Folge () auf Konvergenz.
Aufgabe
Aufgabe
Es sei und . Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert durch
eine Folge definiert wird, die gegen konvergiert.
Aufgabe
Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} a \in \R_{\geq 0}} , , und . Zeige .
Aufgabe
Es seien und beschränkte Teilmengen von . Ferner sei und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} A - B := { \left\{ a - b \mid a \in A , \, b \in B \right\} }} .
- Zeige, dass .
- Wie lautet die entsprechende Formel für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} \sup(A-B)} ?
- Zeige, dass .
- Was lässt sich über sagen?
- Wie lautet die Entsprechung zu 3. für unendlich viele Mengen?
Aufgabe
Es sei ein angeordneter Körper, der nicht archimedisch angeordnet sei. Zeige, dass für die Aussage das Satzes von Bolzano-Weierstraß nicht gilt.
Aufgabe
Zeige die folgenden Abschätzungen.
a)
b)
Aufgabe
Berechne mit einem Computer die ersten hundert Nachkommastellen im Zehnersystem von
Für welches wird diese Genauigkeit erreicht?
Aufgabe *
Es sei , Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} n \in \N} , eine Intervallschachtelung in Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikiversity.org/v1/“:): {\displaystyle {{}} \R} . Zeige, dass der Durchschnitt
aus genau einem Punkt besteht.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei die Folge der Fibonacci-Zahlen und
Zeige, dass diese Folge in konvergiert und dass der Grenzwert die Bedingung
erfüllt. Berechne daraus .
Tipp: Zeige zuerst mit Hilfe der Simpson-Formel, dass man mit diesen Brüchen eine Intervallschachtelung basteln kann.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass in ihm jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Zeige, dass vollständig ist.
Aufgabe (6 Punkte)
Zeige, dass jede Folge in eine monotone Teilfolge besitzt.
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