Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 31/latex

\setcounter{section}{31}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende Funktion}{}{} und
\mathl{b \in \R}{.} Zeige, dass die Folge
\mathbed {f(n)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} genau dann gegen $b$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow + \infty } \, f(x) =b} { }
gilt, wenn also die Funktion für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{} den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $b$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{[a,+ \infty [}{} ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und \maabb {f,g} {[a, +\infty [} { \R } {} seien \definitionsverweis {Funktionen}{}{} derart, dass die \definitionsverweis {Grenzwerte}{}{} \mathkor {} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x)} {und} {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} {} existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten. \aufzaehlungdrei{Die Summe
\mathl{f+g}{} besitzt einen Grenzwert für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{,} und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, (f(x)+g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) + \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} { . }
}{Das Produkt
\mathl{f \cdot g}{} besitzt einen Grenzwert für
\mathl{x \rightarrow +\infty}{,} und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, (f(x) \cdot g(x)) = \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) \cdot \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x)} { . }
}{Es sei
\mathl{g(x) \neq 0}{} für alle
\mathl{x \in [a, + \infty [}{} und
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x) \neq 0}{.} Dann besitzt der Quotient
\mathl{f/g}{} einen Grenzwert für $x \rightarrow +\infty$, und zwar ist
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, \frac{f(x)}{ g(x)} = \frac{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, f(x) }{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow +\infty } \, g(x) }} { . }
}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein Intervall,
\mathl{r}{} ein \definitionsverweis {(uneigentlicher) Randpunkt}{}{} von $I$ und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass die Existenz des \definitionsverweis {uneigentlichen Integrals}{}{}
\mathdisp {\int_{ a }^{ r } f ( t) \, d t} { }
nicht vom gewählten Startpunkt
\mathl{a \in I}{} abhängt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I={]r,s[}$ ein \definitionsverweis {beschränktes offenes Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die sich auf
\mathl{[r,s]}{} \definitionsverweis {stetig fortsetzen}{}{} lässt. Zeige, dass dann das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ r }^{ s } f ( t) \, d t} { }
existiert und mit dem \definitionsverweis {bestimmten Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ r }^{ s } f ( t) \, d t} { }
übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise Rechenregeln für \definitionsverweis {uneigentliche Integrale}{}{} \zusatzklammer {analog zu Lemma 23.16} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^2-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } e^{-t} \, d t} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ -1 }^{ 1 } { \frac{ 1 }{ \sqrt{1-t^2} } } \, d t} { }
existiert und berechne es im Falle der Existenz.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ 1 }{ (x+1) \sqrt{x} } } \, d x} { }
existiert und berechne es im Falle der Existenz.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Sei \maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {monoton fallende}{}{} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } f ( t) \, d t} { }
existiert. Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ t \rightarrow \infty } \, f(t) =0} { }
ist.

b) Man zeige durch ein Beispiel, dass die Aussage in a) für eine stetige, nicht monoton fallende Funktion nicht gelten muss.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {{]0,1]}} {[0, \infty [ } {} eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion \maabbdisp {f^{-1}} {{[0, \infty[} } {{]0,1]} } {.} Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ 1 } f(t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ 0 }^{ \infty } f^{-1}(y) \, d y}{} existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } \betrag { { \frac{ \sin x }{ x } } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ 1 }{ (\sqrt{1+t^2})^3 } } \, d t} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne die Energie, die nötig wäre, um die Erde, ausgehend von der jetzigen Lage relativ zur Sonne, unendlich weit von der Sonne zu entfernen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ \infty } { \frac{ x^3-3x+5 }{ x^4+2x^3+5x+8 } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Entscheide, ob das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ \infty } { \frac{ \sin x }{ x } } \, d x} { }
existiert.

}
{} {(Versuche nicht, eine Stammfunktion für den Integranden zu finden.)}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {unbeschränkte}{}{,} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {} derart, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{} $\int_{ 0 }^{ \infty } f ( t) \, d t$ existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {]a,b[} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {fallende Folge}{}{} in $I$ mit dem \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $a$ und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {wachsende Folge}{}{} in $I$ mit dem \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $b$. Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral
\mathl{\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t}{} existiert. Zeige, dass die Folge
\mathdisp {w_n = \int_{ x_n }^{ y_n } f ( t) \, d t} { }
gegen das uneigentliche Integral konvergiert.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Hochladen\zusatzfussnote {Bei einer Aufgabe zum Hochladen geht es darum, ein Bild \zusatzklammer {Animation etc.} {} {} mit einem Programm zu erstellen, über Commons hochzuladen \zusatzklammer {genau kategorisieren} {} {} und es in den Kurs einzubinden \zusatzklammer {siehe Materialseite des Kurses} {} {.} Die Arbeit muss in einem auf Commons erlaubten Format erstellt und unter die CC-by-sa 3.0-Lizenz gestellt werden. Unbedingt das Urheberrecht beachten! Es gibt keinen genauen Abgabetermin, Nachbesserungen sind möglich und erwünscht. Bewertung letztlich durch den Dozenten. Die Gutschrift auf das Punktekonto erfolgt am Ende des Semesters vor der Klausur.} {} {}}

\inputaufgabe
{5}
{

Man fertige eine Skizze an, die die \definitionsverweis {eulersche Konstante}{}{} als einen Flächeninhalt darstellt.

}
{} {}