Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 32

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei und betrachte die Funktion

Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.


Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Beziehung

gilt.


Aufgabe *

a) Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion mit

für monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ebenfalls ein Skalarprodukt ist.


Zwei Vektoren heißen orthogonal (oder senkrecht) zueinander, wenn ist. Nach Bemerkung 32.11 beträgt dann der Winkel zwischen ihnen .

Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren , die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung


Aufgabe *

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Es seien und zwei euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch

ein Skalarprodukt auf dem Produktraum definiert wird.


Aufgabe *

Es sei ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.


Aufgabe

Sei ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass in der Abschätzung

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn und linear abhängig sind.


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ).

  1. Es ist .
  2. Es ist genau dann, wenn .
  3. Es ist .
  4. Es ist


Ein Skalarprodukt ermöglicht es, von Orthonormalbasen zu sprechen.

Sei ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

gilt.


Aufgabe

Der sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei der Kern der linearen Abbildung

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für .


Aufgabe *

Sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension . Zeige, dass eine Vektorfamilie genau dann eine Orthonormalbasis von ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

eine Isometrie zwischen und ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Die Stadt soll mit den beiden Städten und mit durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der -Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.

Tipp zur Probe: Stimmt Ihr Ergebnis auch bei ?

Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei eine Orthonormalbasis von . Zeige, dass für jeden Vektor die Beziehung

gilt.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein euklidischer Vektorraum und sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist eine Isometrie.
  2. Für jeden Vektor mit ist auch .
  3. Für jede Orthonormalbasis , ist auch , eine Orthonormalbasis.
  4. Es gibt eine Orthonormalbasis , derart, dass auch , eine Orthonormalbasis ist.


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