Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 32

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $x\in ℝ$ und betrachte die Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,t⟼f(t)=t^x{e}^{-t}.$

Bestimme die Extremwerte dieser Funktion.

Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für $k\in \mathbb{N}$ die Beziehung

$\mathrm{Fak}\left(\frac{2k-1}{2}\right)=\frac{\prod _{i=1}^k(2i-1)}{2^k}\cdot \sqrt{\pi }$

gilt.

Aufgabe *

a) Zeige, dass für  $x\ge 1$  die Abschätzung

${\int }_0^1{t}^x{e}^{-t}dt\le 1$

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion $H(x)$ mit

$H(x)={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^x{e}^{-t}dt$

für  $x\ge 1$  monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass $10!\ge e^{11}+1$ gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für  $x\ge 10$  die Abschätzung

$\mathrm{Fak}(x)\ge e^x$

gilt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und sei  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf $U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

Zwei Vektoren $v,w\in V$ heißen orthogonal (oder senkrecht) zueinander, wenn $⟨v,w⟩=0$ ist. Nach Bemerkung 32.11 beträgt dann der Winkel zwischen ihnen $\pi /2$.

Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren $v,w\in V$, die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung

$\Vert v+w{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2.$

Aufgabe *

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und der zugehörigen Norm $\Vert -\Vert$. Zeige, dass die Beziehung

$⟨v,w⟩=\frac{1}{2}(\Vert v+w{\Vert }^2-\Vert v{\Vert }^2-\Vert w{\Vert }^2)$

gilt.

Aufgabe

Es seien $(V_1,{⟨-,-⟩}_1)$ und $(V_2,{⟨-,-⟩}_2)$ zwei euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch

$⟨(v_1,v_2),(w_1,w_2)⟩:={⟨v_1,w_1⟩}_1+{⟨v_2,w_2⟩}_2$

ein Skalarprodukt auf dem Produktraum $V_1\times V_2$ definiert wird.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass der Realteil dieses Skalarproduktes ein Skalarprodukt auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum ist.

Aufgabe

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass in der Abschätzung

$|⟨v,w⟩|\le \Vert v\Vert \cdot \Vert w\Vert$

von Cauchy-Schwarz genau dann die Gleichheit gilt, wenn $v$ und $w$ linear abhängig sind.

Aufgabe

Es sei $V$ ein Vektorraum über $𝕂$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind $u,v,w\in V$).

1. Es ist $d(v,w)\ge 0$.
2. Es ist $d(v,w)=0$ genau dann, wenn $v=w$.
3. Es ist $d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   $d(u,w)\le d(u,v)+d(v,w).$

Ein Skalarprodukt ermöglicht es, von Orthonormalbasen zu sprechen.

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$⟨v_i,v_i⟩=1\text{ für }\text{alle }i\text{ und }⟨v_i,v_j⟩=0\text{ für }i\ne j$

gilt.

Aufgabe

Der ${ℝ}^3$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei  $U\subseteq {ℝ}^3$  der Kern der linearen Abbildung

${ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼3x+y+7z,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für $U$.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension $n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie  $u_1,\dots ,u_n\in V$  genau dann eine Orthonormalbasis von $V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

${ℝ}^n⟶V,e_i⟼u_i,$

eine Isometrie zwischen ${ℝ}^n$ und $V$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass für die Fakultätsfunktion die Beziehung

$\mathrm{Fak}(x)={\int }_0^1(-\ln t{)}^{x}dt$

gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Die Stadt $S=(0,0)$ soll mit den beiden Städten $T=(a,b)$ und $U=(a,-b)$ mit $a\ge 0,b>0$ durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der $x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.

Tipp zur Probe: Stimmt Ihr Ergebnis auch bei $a=0$?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein Vektorraum über $ℝ$ mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$ und der zugehörigen Norm $\Vert -\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

$\Vert v+w{\Vert }^2+\Vert v-w{\Vert }^2=2\Vert v{\Vert }^2+2\Vert w{\Vert }^2$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei  $u_1,\dots ,u_n\in V$  eine Orthonormalbasis von $V$. Zeige, dass für jeden Vektor  $v\in V$  die Beziehung

$v=\sum _{i=1}^n⟨v,u_i⟩u_i$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\phi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor $v$ mit  $\Vert v\Vert =1$  ist auch  $\Vert \phi (v)\Vert =1$. 
3. Für jede Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, ist auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, derart, dass auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.