Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 33/latex

\setcounter{section}{33}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {P=\left( \frac{3}{4} , \, -1 \right)} {und} {Q= \left( 2 , \, \frac{1}{5} \right)} {} zwei Punkte im $\R^2$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Summenmetrik}{}{} im $\R^n$ eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Maximumsmetrik}{}{} im $\R^n$ eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ die Parabel, also der \definitionsverweis {Graph}{}{} der Quadratfunktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^2 } {.} Entscheide, ob auf $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_1((x_1,y_1), (x_2,y_2)) }
{ \defeq} { \betrag { x_1 -x_2 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw. durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_2((x_1,y_1), (x_2,y_2)) }
{ \defeq} { \betrag { y_1 -y_2 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2 +y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der Einheitskreis. Zeige, dass man auf $K$ eine Metrik definieren kann, indem man
\mathl{d(P,Q)}{} \zusatzklammer {\mathlk{P,Q \in K}{}} {} {} als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} ansetzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {stetige}{}{} \definitionsverweis {konkave Funktion}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(t) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbdisp {d} {M \times M} {\R_{\geq 0} } {} eine \definitionsverweis {Metrik}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mathl{f \circ d}{} eine Metrik ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten. \aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {leere Menge}{}{} $\emptyset$ und die Gesamtmenge $M$ sind \definitionsverweis {offen}{}{.} }{Es sei $I$ eine beliebige Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathdisp {\bigcup_{i \in I} U_i} { }
offen. }{Es sei $I$ eine endliche Indexmenge und seien
\mathbed {U_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} offene Mengen. Dann ist auch der \definitionsverweis {Durchschnitt}{}{}
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} U_i} { }
offen. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {offenen Kugeln}{}{} $U { \left( x,\epsilon \right) }$ \definitionsverweis {offen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {abgeschlossenen Kugeln}{}{} $B \left( x,\epsilon \right)$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf dem $\R^n$ die \definitionsverweis {euklidische Metrik}{}{,} die \definitionsverweis {Summenmetrik}{}{} und die \definitionsverweis {Maximumsmetrik}{}{} dieselben \definitionsverweis {offenen Mengen}{}{} definieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass in $M$ die sogenannte \stichwort {Hausdorff} {-}Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten \mathkor {} {x} {und} {y} {} gibt es \definitionsverweis {offene Mengen}{}{} \mathkor {} {U} {und} {V} {} mit
\mathdisp {x \in U \text{ und } y \in V \text{ und } U \cap V = \emptyset} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} in ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge
\mathdisp {S= { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2 +y^2 = 1 \right\} }} { }
in $\R^2$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ in $\R$ weder \definitionsverweis {offen}{}{} noch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge mit der \definitionsverweis {induzierten Metrik}{}{.} Zeige, dass eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ \subseteq }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {offen}{}{} in $T$ ist, wenn es eine in $M$ offene Menge $U$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z }
{ = }{ T \cap U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf jeder Menge $M$ die \definitionsverweis {diskrete Metrik}{}{} in der Tat eine \definitionsverweis {Metrik}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge, die mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{} versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von $M$ sowohl \definitionsverweis {offen}{}{} als auch \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen
\mathl{x\in M}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn die Folge der Abstände
\mathl{d(x_n,x)}{} in $\R$ gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} genau einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $M$. Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} dieser Folge \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {metrischen Raum}{}{} $M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen
\mathl{x\in M}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn in jeder \definitionsverweis {offenen Menge}{}{} $U$ mit
\mathl{x \in U}{} alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Entscheide, ob für vier Punkte
\mathl{A,B,C,X}{} in der euklidischen Ebene $\R^2$ stets die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(A,B) +d(B,C) }
{ \leq} {d(A,X)+ d(B,X) +d(C,X) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} zwei verschiedene Punkte im $\R^2$ und $G$ die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {abgeschlossen}{}{} in $\R^2$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (2+2+2)}
{

a) Definiere auf der Einheitssphäre, also der Kugeloberfläche
\mathdisp {S= { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} }} { , }
die \anfuehrung{geodätische Metrik}{}, bei der der Abstand zweier Punkte
\mathl{P,Q \in S}{} durch die Länge der kürzesten Verbindung auf der Oberfläche gegeben ist.

b) Zeige, dass es sich um eine Metrik handelt.

c) Welchen Abstand besitzen die Punkte
\mathl{(0,0,1)}{} und
\mathl{(1,0,0)}{} in der euklidischen und in der geodätischen Metrik?

}
{} {Die kürzeste Verbindung liegt auf dem Großkreis, den man enthält, wenn man die Kugeloberfläche mit der durch
\mathl{P,Q, (0,0,0)}{} gegebenen Ebene schneidet \zusatzklammer {wann definieren diese drei Punkte keine Ebene?} {} {.} Die Formel für den Kreisumfang und die Tatsache, dass der Winkel proportional zur Bogenlänge ist, darf verwendet werden.}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $M$. Zeige, dass ein Punkt $x \in M$ genau dann ein \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} der Folge ist, wenn es eine gegen $x$ \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $M$, die gegen $x \in M$ \definitionsverweis {konvergiere}{}{.} Es sei ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine weitere Folge derart, dass die Abstände $d { \left( x_n, y_n \right) }$ eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} in $\R$ sei. Zeige, dass auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $x$ konvergiert.

}
{} {}