Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 33

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es seien ${}P=\left({\frac {3}{4}},\,-1\right)$ und ${}Q=\left(2,\,{\frac {1}{5}}\right)$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

Aufgabe

Zeige, dass die Summenmetrik im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsmetrik im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Parabel, also der Graph der Quadratfunktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}.$

Entscheide, ob auf ${}M$ durch

${}d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})):=\vert {x_{1}-x_{2}}\vert \,$

bzw. durch

${}d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})):=\vert {y_{1}-y_{2}}\vert \,$

eine Metrik definiert wird.

Aufgabe

Es sei

${}K={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

der Einheitskreis. Zeige, dass man auf ${}K$ eine Metrik definieren kann, indem man ${}d(P,Q)$ ($P,Q\in K$) als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt ${}(0,0)$ ansetzt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine stetige konkave Funktion mit ${}f(0)=0$ und ${}f(t)>0$ für ${}t>0$ und sei

$d\colon M\times M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

eine Metrik. Zeige, dass dann auch ${}f\circ d$ eine Metrik ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

1. Die leere Menge ${}\emptyset$ und die Gesamtmenge ${}M$ sind offen.
2. Es sei ${}I$ eine beliebige Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung

   $\bigcup _{i\in I}U_{i}$

   offen.
3. Es sei ${}I$ eine endliche Indexmenge und seien ${}U_{i}$, ${}i\in I$, offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt

   $\bigcap _{i\in I}U_{i}$

   offen.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ offen sind.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln ${}B\left(x,\epsilon \right)$ abgeschlossen sind.

Aufgabe

Zeige, dass auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ die euklidische Metrik, die Summenmetrik und die Maximumsmetrik dieselben offenen Mengen definieren.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass in ${}M$ die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten ${}x$ und ${}y$ gibt es offene Mengen ${}U$ und ${}V$ mit

$x\in U{\text{ und }}y\in V{\text{ und }}U\cap V=\emptyset .$

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge ${}T\subseteq M$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen in ${}{\mathbb {C} }$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

$S={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}$

in ${}\mathbb {R} ^{2}$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ in ${}\mathbb {R}$ weder offen noch abgeschlossen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge ${}Z\subseteq T$ genau dann offen in ${}T$ ist, wenn es eine in ${}M$ offene Menge ${}U$ mit ${}Z=T\cap U$ gibt.

Aufgabe

Zeige, dass auf jeder Menge ${}M$ die diskrete Metrik in der Tat eine Metrik ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Menge, die mit der diskreten Metrik versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von ${}M$ sowohl offen als auch abgeschlossen ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn die Folge der Abstände ${}d(x_{n},x)$ in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}0$ konvergiert.

Aufgabe

Zeige, dass eine konvergente Folge in einem metrischen Raum genau einen Häufungspunkt besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass die Menge aller Häufungspunkte dieser Folge abgeschlossen ist.

Aufgabe *

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn in jeder offenen Menge ${}U$ mit ${}x\in U$ alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob für vier Punkte ${}A,B,C,X$ in der euklidischen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ stets die Abschätzung

${}d(A,B)+d(B,C)\leq d(A,X)+d(B,X)+d(C,X)\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}P$ und ${}Q$ zwei verschiedene Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und ${}G$ die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass ${}G$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

a) Definiere auf der Einheitssphäre, also der Kugeloberfläche

$S={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}},$

die „geodätische Metrik“, bei der der Abstand zweier Punkte ${}P,Q\in S$ durch die Länge der kürzesten Verbindung auf der Oberfläche gegeben ist.

b) Zeige, dass es sich um eine Metrik handelt.

c) Welchen Abstand besitzen die Punkte ${}(0,0,1)$ und ${}(1,0,0)$ in der euklidischen und in der geodätischen Metrik?

Die kürzeste Verbindung liegt auf dem Großkreis, den man enthält, wenn man die Kugeloberfläche mit der durch ${}P,Q,(0,0,0)$ gegebenen Ebene schneidet (wann definieren diese drei Punkte keine Ebene?). Die Formel für den Kreisumfang und die Tatsache, dass der Winkel proportional zur Bogenlänge ist, darf verwendet werden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$. Zeige, dass ein Punkt ${}x\in M$ genau dann ein Häufungspunkt der Folge ist, wenn es eine gegen ${}x$ konvergente Teilfolge gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}M$, die gegen ${}x\in M$ konvergiere. Es sei ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine weitere Folge derart, dass die Abstände ${}d{\left(x_{n},y_{n}\right)}$ eine Nullfolge in ${}\mathbb {R}$ sei. Zeige, dass auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$ konvergiert.