Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 40/latex

\setcounter{section}{40}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die\zusatzfussnote {Mit dieser Formulierung wird hier und im Folgenden implizit benutzt, dass die Lösung eindeutig ist. In den meisten der hier gestellten Aufgaben ergibt sich die Eindeutigkeit direkt, sie ist aber nicht Teil der Aufgabenstellung} {.} {} \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'= \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ -5 \end{pmatrix} \text{ mit } v(2) = \begin{pmatrix} -4 \\6\\ -1 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'= \begin{pmatrix} t^2- \sin t \\ \cos^{ 2 } t \end{pmatrix} \text{ mit } v(1) = \begin{pmatrix} 4 \\5 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Lösung des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{} zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,x,y)} { (-ay, ax) } {,} und zur Anfangsbedingung
\mathl{v(s)=(b,c)}{} \zusatzklammer {dabei seien
\mathl{a,b,c,s \in \R}{} fixierte reelle Zahlen} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wie löst man eine \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{} zu einem \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {I \times U} {V } {(t,v)} {f(t,v) = g(t) } {?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {F} {I \times U} {V } {(t,v)} {F(t,v) } {,} ein \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {konstante Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {I} {U } {t} {\varphi(t) = c } {,} genau dann eine Lösung der \definitionsverweis {zugehörigen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v' }
{ = }{ F(t,v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(t,c) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R} {V } {t} {\varphi(t) } {,} eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} der zeitunabhängigen \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {F(t,v) }
{ =} {F(v) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zum Vektorfeld \maabbdisp {F} {V} {V } {.} Zeige, dass auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi(t) }
{ \defeq} { \varphi(t+c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu jedem
\mathl{c \in \R}{} eine Lösung ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixierter Vektor und \maabbdisp {F} {\R \times V} {V } {} ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(t,v) }
{ =} {F(t,v+u) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R} {V } {} eine Lösung zur Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {F(t,v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi(t) }
{ \defeq} { \varphi (t) +u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(t,x_1 , \ldots , x_n) }
{ =} { (f_1(t,x_1) , \ldots , f_n(t,x_n)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen
\mathl{x_i'=f_i(t,x_i)}{} zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde alle \definitionsverweis {Lösungen des Differentialgleichungssystems}{}{} zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,x,y)} { { \left( t^2x,yt+ \sin t \right) } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} { \R^2 } {t} { \left( a t \cos \left( t+t_0 \right) , \, a t \sin \left( t+t_0 \right) \right) } {,} \zusatzklammer {zu fixierten \mathlk{a,t_0 \in \R}{}} {} {} \definitionsverweis {Lösungskurven}{}{} für die \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} \zusatzklammer {bei
\mathl{t >0}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -y + { \frac{ x }{ t } } \\ x + { \frac{ y }{ t } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind.

b) Man gebe eine Lösung für das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v { \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) } }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{} zu dieser Differentialgleichung an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die Lösung $\varphi$ des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{} für das \definitionsverweis {Zentralfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,v,w)} { { \left( t^2-t \right) } (v,w) = { \left( { \left( t^2-t \right) } v, { \left( t^2-t \right) } w \right) } } {,} mit
\mathl{\varphi(0)=(1,1)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Lösung $\varphi$ des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{} für das \definitionsverweis {Zentralfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,x,y)} {e^t x \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(0) }
{ = }{\begin{pmatrix} -1 \\4 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei ein Vektorfeld der Form \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} { \R^2 } { \left( t , \, x , \, y \right) } { h \left( t , \, x , \, y \right) \begin{pmatrix} y \\-x \end{pmatrix} } {,} mit einer stetigen Funktion \maabbeledisp {h} {\R \times \R^2} {\R } { \left( t , \, x , \, y \right) } { h \left( t , \, x , \, y \right) } {,} gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei
\mathl{r \in \R}{} und es sei \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { - h(t, r \cos y(t), r \sin y(t) ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \begin{pmatrix} r \cos \left( g(t) \right) \\ r \sin \left( g(t) \right) \end{pmatrix} } {,} eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {F(t,v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'= \left( - \sin^{ 3 } t \cos t , \, { \frac{ t^3-t+1 }{ t^2-4 } } \right) \text{ mit } v(0) = \left( 3 , \, 7 \right)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Finde die \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{} zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R \times ( \R \setminus \Z \pi ) } {\R^2 } {(t,x,y)} { { \left( xt -3(t+1)e^{-t}, { \frac{ t^2 }{ \sin y } } \right) } } {} und zur Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v(0) }
{ = }{ (2,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Finde die Lösung $\varphi$ des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{} für das \definitionsverweis {Zentralfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,v,w)} { (t^3-t) (v,w) = ((t^3-t)v,(t^3-t)w ) } {,} mit
\mathl{\varphi(0)=(2,3)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Finde die Lösung $\varphi$ des \definitionsverweis {Anfangswertproblems}{}{} für das \definitionsverweis {Zentralfeld}{}{} \maabbeledisp {F} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,v,w)} { (t^2v ) (v,w) = (t^2v^2,t^2vw ) } {,} mit
\mathl{\varphi(0)=(5,-1)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen und \maabbdisp {F} {U} {V } {} ein \definitionsverweis {zeitunabhängiges Vektorfeld}{}{.} Es sei \maabbdisp {v} {J} {U } {} eine \definitionsverweis {Lösung}{}{} der zugehörigen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v' }
{ = }{ F(v) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gebe zwei Zeitpunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ \neq }{ t_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in $J$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v(t_0) }
{ = }{ v(t_1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es dann eine auf ganz $\R$ definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.

}
{} {}