Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die Differentialgleichung zweiter Ordnung

${}y^{\prime \prime }=y\,.$

Löse damit das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y{\text{ mit }}y(0)=3{\text{ und }}y^{\prime }(0)=-2.$

Aufgabe

Wir betrachten die Differentialgleichung

$y'=y$

mit der Anfangsbedingung ${}y(0)=1$. Bestimme zur Schrittweite ${}s={\frac {1}{k}}$ die approximierenden Punkte ${}P_{n}$ gemäß dem Polygonzugverfahren. Bestimme insbesondere ${}P_{k}$. Was passiert mit ${}P_{k}$ für ${}k\rightarrow \infty$?

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\sin t&0\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-\sin t\\t^{5}\end{pmatrix}}\,$

für ${}t>0$.

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&1-t\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}2&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen (für ${}t>0$) des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}1&t^{3}-t\\0&{\frac {1}{t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}3&t^{2}-t+5\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

differenzierbare Funktionen mit

${}f_{11}(t)f_{22}(t)-f_{21}(t)f_{12}(t)\neq 0\,$

für alle ${}t\in I$. Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {f'_{11}f_{22}-f'_{12}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f'_{11}f_{12}+f'_{12}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\\{\frac {f'_{21}f_{22}-f'_{22}f_{21}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}&{\frac {-f_{12}f'_{21}+f'_{22}f_{11}}{f_{11}f_{22}-f_{21}f_{12}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass sowohl ${}{\begin{pmatrix}f_{11}\\f_{21}\end{pmatrix}}$ als auch ${}{\begin{pmatrix}f_{12}\\f_{22}\end{pmatrix}}$ Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.

Aufgabe *

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ${}I\times \mathbb {R} ^{n}$ (${}I$ ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,,$

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

${}M(t)=\varphi (t){\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

mit einer geeigneten Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (6 Punkte)

a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus Beispiel 41.3 zu einem Startzeitpunkt ${}t_{0}$, einem Startpunkt ${}P_{0}={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$ und einer vorgegebenen Schrittweite ${}s>0$ die approximierenden Punkte ${}P_{n}$ berechnet.

b) Berechne mit diesem Programm die Punkte ${}P_{n}$ für

1. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{10}}$, ${}n=0,1,2,3,4,5,10$.
2. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{100}}$, ${}n=100$.
3. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.
4. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1,001\\0,999\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.
5. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1,01\\0,99\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.
6. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1,1\\0,9\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.
7. ${}t_{0}=-3$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{10}}$, ${}n=100$.
8. ${}t_{0}=0$, ${}P_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$, ${}s={\frac {1}{1000}}$, ${}n=1000$.

(Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.)

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

a) Übersetze das Anfangswertproblem zweiter Ordnung

$y^{\prime \prime }=-y{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$

in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung.

b) Bestimme mit dem Polygonzugverfahren zur Schrittweite ${}s={\frac {1}{2}}$ die Näherungspunkte ${}P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ für dieses System.

c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle ${}t=\pi /2$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen des linearen Differentialgleichungssystems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-2&-t^{2}-3t+4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

1. Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion ${}z(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)$ zu einer Lösung ${}(x,y)$ erfüllen muss.
2. Finde eine Lösung für ${}z(t)$ aus Teil (1).
3. Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine nichttriviale Lösung (für $t>1$) zum linearen Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}{\frac {4t^{4}-1}{t^{5}-t}}&{\frac {-3t}{t^{4}-1}}\\{\frac {-t}{t^{4}-1}}&{\frac {3t^{4}-2}{t^{5}-t}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe von Aufgabe 41.9.

Die für ${}t\in \mathbb {R}$, ${}-1<t<1$, und ein ${}n\in \mathbb {N}$ definierte lineare Differentialgleichung

$y^{\prime \prime }-{\frac {2t}{1-t^{2}}}y'+{\frac {n(n+1)}{1-t^{2}}}y=0$

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter ${}n$.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom

${\frac {1}{2^{n}(n!)}}((t^{2}-1)^{n})^{(n)}$

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ${}n$ ist.

Fußnoten