- Übungsaufgaben
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die
Differentialgleichung zweiter Ordnung
-

Löse damit das Anfangswertproblem
-
Bestimme alle Lösungen des
linearen Differentialgleichungssystems
-

für
.
Bestimme alle Lösungen des
linearen Differentialgleichungssystems
-

Bestimme alle Lösungen des
linearen Differentialgleichungssystems
-

Bestimme alle Lösungen des
linearen Differentialgleichungssystems
-

Bestimme alle Lösungen
(für
)
des
linearen Differentialgleichungssystems
-

Bestimme alle Lösungen des
linearen Differentialgleichungssystems
-

Es sei
-

ein
lineares Differentialgleichungssystem
auf
(
ein reelles Intervall)
mit einer Funktionenmatrix
-

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein
Zentralfeld
sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
-

mit einer geeigneten Funktion
-
besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
a) Schreibe ein Computerprogramm, das zu dem Vektorfeld aus
Beispiel 41.3
zu einem Startzeitpunkt
, einem Startpunkt
und einer vorgegebenen Schrittweite
die approximierenden Punkte
berechnet.
b) Berechne mit diesem Programm die Punkte
für
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
,
,
,
.
(Abzugeben ist lediglich Teil b), und zwar in einer leserfreundlichen Form.)
Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)
a) Übersetze das
Anfangswertproblem zweiter Ordnung
-
in ein
Differentialgleichungssystem erster Ordnung.
b) Bestimme
mit dem Polygonzugverfahren
zur Schrittweite
die Näherungspunkte
für dieses System.
c) Berechne den Wert des zugehörigen Streckenzuges an der Stelle
.
Bestimme alle Lösungen des
linearen Differentialgleichungssystems
-

Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)
Finde eine nichttriviale Lösung
(für
)
zum
linearen Differentialgleichungssystem
-

mit Hilfe von
Aufgabe 41.11.
Zeige, dass das
-te Legendre-Polynom[1]
-
eine Lösung der
Legendreschen Differentialgleichung
zum Parameter
ist.
- Fußnoten
- ↑ Hier bedeutet das hochgestellte
die
-te Ableitung.