Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 43/latex

\setcounter{section}{43}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { \R^2 } { \R } {(x,y)} {xy } {,} \aufzaehlungsechs{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(2,5)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(2,3)}{} in Richtung
\mathl{(-1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(3,7)}{} in Richtung
\mathl{(5,-4)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { \R \times \R \setminus \{0\} } { \R } {(x,y)} { { \frac{ x }{ y } } } {,} \aufzaehlungfuenf{im Punkt
\mathl{(0,1)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,1)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,3)}{} in Richtung
\mathl{(2,4)}{,} }{im Punkt
\mathl{(-1,6)}{} in Richtung
\mathl{(-3,-1)}{,} }{im Punkt
\mathl{\left( 1 , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } \right)}{} in Richtung
\mathl{(0,-1)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {t^2 } {,} die Richtungsableitung in Richtung $3$ für jeden Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { \R } { \R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, wenn $f$ in $P$ in Richtung $1$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, und dass dann die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{1} f \right) } { \left( P \right) } }
{ =} {f'(P) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} einer Abbildung in Richtung $0$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,} und \maabb {f} {G} {W } {} eine Abbildung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein fixierter Vektor. Zeige, dass $f$ in $P$ in Richtung $v$ genau dann \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, wenn die \zusatzklammer {auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um
\mathl{0 \in {\mathbb K}}{} definierte} {} {} \definitionsverweis {Kurve}{}{} \maabbeledisp {g} {I} {W } {t} { g(t) = f(P+tv) } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) } }
{ =} { g'(0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{Wie muss dabei das Intervall bzw. die offene Umgebung gewählt werden?} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, für welche Richtungen die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} im Nullpunkt zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} { {\max { \left( x , y \right) } } } {,} existieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, für welche Punkte
\mathl{P\in \R^n}{} und welche Richtungen
\mathl{v \in \R^n}{} die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der \definitionsverweis {euklidischen Norm}{}{} \maabbeledisp {} {\R^n} {\R } { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } {\sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2} } {,} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, für welche Punkte
\mathl{P\in \R^2}{} und welche Richtungen
\mathl{v \in \R^2}{} die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R^2} {\R } { (x,y)} { \betrag { x+y } } {,} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die Funktion \maabbeledisp {f} { \R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^2 } {,} im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} auf \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{.} Man entscheide für jede Gerade $G$ durch den Nullpunkt, ob die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $f$ auf $G$ im Nullpunkt ein \definitionsverweis {Extremum}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {f,g} {G} {W } {} seien \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung \maabbeledisp {h} {G} {\R } {P} { \left\langle f(P) , g(P) \right\rangle } {,} in Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} differenzierbar ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (D_v h) (P) }
{ =} { \left\langle f(P) , ( D_v g)(P) \right\rangle + \left\langle ( D_v f)(P) , g (P) \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S^1 }
{ \subset }{\R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Einheitskreis und \maabbdisp {g} {S^1} {\R } {} eine Funktion mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(-Q) }
{ = }{-g(Q) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte. \aufzaehlungsechs{Zeige, dass durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P) }
{ \defeq} { \Vert {P} \Vert g \left( \frac{ P }{ \Vert {P} \Vert } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Funktion auf $\R^2$ definiert ist. }{Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, wenn $g$ stetig ist. }{Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges $g$ derart, dass $f$ im Nullpunkt stetig ist. }{Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist. }{Zeige, dass $f$ im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist. }{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(Q) }
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls die } x-\text{Koordinate von } Q \text{ rational ist } \\ 0, \text{ falls die } x-\text{Koordinate von } Q \text{ irrational ist} \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Zeige, dass $f$ in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nur in eine Richtung \zusatzklammer {bis auf Skalierung} {} {} eine Richtungsableitung besitzt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} reelle endlichdimensionale Vektorräume,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}

\definitionsverweis {offen}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Vektor. Es bezeichne
\mathl{C^1_v(G,W)}{} die Menge aller in Richtung $v$ \definitionsverweis {differenzierbaren Abbildungen}{}{} von $G$ nach $W$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { C^1_v(G,W)} {{\rm Abb}(G,W) } {\varphi} { D_{ v}\varphi } {,} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { \R^2 } { \R } {(x,y)} {x^2 \sin y -e^{x} y -x } {,} \aufzaehlungacht{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(2,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,0)}{} in Richtung
\mathl{(1,-3)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,1)}{} in Richtung
\mathl{(1,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(-1, { \frac{ 1 }{ 2 } })}{,} }{im Punkt
\mathl{(5,7)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(5,7)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} { \R^2 \setminus { \left\{ (x,y) \mid x^2+y^3 = 0 \right\} } } { \R } {(x,y)} { { \frac{ x^2-xy+y^4 }{ x^2+y^3 } } } {,} \aufzaehlungvier{im Punkt
\mathl{(1,1)}{} in Richtung
\mathl{(1,0)}{,} }{im Punkt
\mathl{(0,1)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(1,0)}{} in Richtung
\mathl{(0,1)}{,} }{im Punkt
\mathl{(3,-2)}{} in Richtung
\mathl{(2,-5)}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{} der Funktion \zusatzklammer {$r_i \in \N$} {} {} \maabbeledisp {} {\R^n } { \R } {(x_1 , \ldots , x_n)} { x_1^{r_1} { \cdots } x_n^{r_n} } {,} in einem Punkt
\mathdisp {a = (a_1 , \ldots , a_n)} { }
in Richtung
\mathdisp {v = (v_1 , \ldots , v_n)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 43.14, dass zu einer \definitionsverweis {polynomialen Funktion}{}{} \maabbeledisp {\varphi} { \R^n } { \R } { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } {\varphi (x_1 , \ldots , x_{ n }) } {,} zu einer fixierten Richtung
\mathl{v \in \R^n}{} die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{}
\mathl{D_{ v}\varphi}{} existiert und selbst polynomial ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}

\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Vektor und sei \maabbdisp {f} {G} {W } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{,} die im Punkt $P$ in Richtung $v$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} sei. Zeige, dass $f$ auch in Richtung
\mathbed {cv} {mit}
{c \in {\mathbb K}} {}
{} {} {} {} differenzierbar ist und die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_{ cv} f \right) } { \left( P \right) } }
{ =} { c { \left( D_{v} f \right) } { \left( P \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}