- Übungsaufgaben
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung
-
in jedem Punkt.
Beschreibe die Abbildung
-
in reellen Koordinaten und bestimme die
Jacobi-Matrix.
Ebenso für
.
Bestimme sämtliche
höheren Richtungsableitungen
der Abbildung
-
die sich mit den beiden Standardrichtungen
und
ausdrücken lassen.
Es sei
-

Zeige, dass
die Wärmeleitungsgleichung
-

erfüllt.
Man gebe ein Beispiel für eine Funktion
-
die im Nullpunkt
partiell differenzierbar
ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die
Richtungsableitung
in keine Richtung
mit
existiert.
Es seien
zwei komplexe
(bzw. reelle)
Polynome und
-
die zugehörige Abbildung. Die
Determinante
der
Jacobi-Matrix
zu
sei in jedem Punkt
von
verschieden.
- Zeige, dass bei
die Determinante konstant ist.
- Zeige durch ein Beispiel, dass bei
die Determinante nicht konstant sein muss.
Zeige für Polynomfunktionen
-
direkt, dass
-

gilt.
Zeige, dass keine
partiell differenzierbare Funktion
-
existiert, so dass
-
für alle
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Bestimme die
Jacobi-Matrix
der
Abbildung
-
Berechne die
Richtungsableitung
dieser Abbildung in einem Punkt
in Richtung
. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor
anwendet.
Zeige, dass keine
partiell differenzierbare Funktion
-
existiert, so dass
-
für alle
gilt.
Es sei
-
eine zweimal
stetig differenzierbare Funktion,
für die in jedem Punkt
-

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen
-
derart gibt, dass
-

gilt.
Zeige, dass die Funktion
-
mit
-

zweimal
partiell differenzierbar
ist, und dass
-

gilt.