Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 44

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y)\longmapsto {\left(x^{3}y-x^{2},x^{4}y^{2}-3xy^{3}+5y\right)}.$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(x^{2}yz^{3}-\sin x,\exp(x^{4}y)-2x^{2}z^{3}\cos(xy^{2}z)\right)}.$

Aufgabe

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\left\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}\mid y\neq 0\right\}}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}}.$

Aufgabe *

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),$

in jedem Punkt.

Aufgabe

Beschreibe die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

in reellen Koordinaten und bestimme die Jacobi-Matrix. Ebenso für ${}z^{3},z^{4},z^{5}$.

Aufgabe

Bestimme sämtliche höheren Richtungsableitungen der Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x^{2}y^{3}-x^{3}y,$

die sich mit den beiden Standardrichtungen ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$ ausdrücken lassen.

Aufgabe *

Es sei ${}\lambda \in \mathbb {R}$

${}f(t,x)=\sin \left(\lambda x\right)e^{-\lambda ^{2}t}\,.$

Zeige, dass ${}f$ die Wärmeleitungsgleichung

${}{\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Zeige, dass eine Polynomfunktion ${}f\colon {\mathbb {K} }^{n}\rightarrow {\mathbb {K} }$ beliebig oft stetig differenzierbar ist.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die im Nullpunkt partiell differenzierbar ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die Richtungsableitung in keine Richtung ${}v=(a,b)$ mit ${}a,b\neq 0$ existiert.

Aufgabe *

Es seien ${}P,Q$ zwei komplexe (bzw. reelle) Polynome und

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y)\longmapsto (P(x,y),Q(x,y)),$

die zugehörige Abbildung. Die Determinante der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ sei in jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ von ${}0$ verschieden.

1. Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Determinante konstant ist.
2. Zeige durch ein Beispiel, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Determinante nicht konstant sein muss.

Aufgabe *

Zeige für Polynomfunktionen

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

direkt, dass

${}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

existiert, so dass

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=xy\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=y^{2}$

für alle ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale, ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume ${}G\subseteq V$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine ${}n$-mal stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Auswahl von ${}n$ Vektoren aus ${}V$. Zeige, dass dann für jede Permutation ${}\sigma \in S_{n}$ die Gleichheit

${}D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}\varphi )\ldots )=D_{v_{\sigma (n)}}(...D_{v_{\sigma (2)}}(D_{v_{\sigma (1)}}\varphi )\ldots )\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto {\left(\sin xy,x^{2}y^{3}z^{4}-y\sinh z,xy^{2}z+5\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

${\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-x^{2}y^{2}-4y^{2}.$

Berechne die Richtungsableitung dieser Abbildung in einem Punkt ${}(x,y)$ in Richtung ${}(2,5)$. Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor ${}(2,5)$ anwendet.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass keine partiell differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

existiert, so dass

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=xy\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=y^{2}$

für alle ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass es ein ${}k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass sämtliche ${}k$-ten Richtungsableitungen ${}0$ sind.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \varphi (x,y),$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, für die in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$

${}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}\varphi (P)=0\,$

gelte. Zeige, dass es dann Funktionen

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass

${}\varphi (x,y)=f(x)+g(y)\,$

gilt.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x,y)={\begin{cases}xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}{\text{ für }}(x,y)\neq (0,0)\,,\\0{\text{ für }}(x,y)=(0,0)\,,\end{cases}}\,$

zweimal partiell differenzierbar ist, und dass

${}D_{1}D_{2}f(0,0)\neq D_{2}D_{1}f(0,0)\,$

gilt.