Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 42

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Übungsaufgaben


Aufgabe

Sei eine quadratische -Matrix über . Es sei eine Lösung der linearen Differentialgleichung

und eine Lösung der linearen Differentialgleichung

Zeige, dass eine Lösung der linearen Differentialgleichung

ist.


Aufgabe

Sei

ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten, sei der Lösungsraum dieses Systems und sei . Zeige, dass die Abbildung

ein Vektorraum-Isomorphismus ist.


Aufgabe

Wie transformieren sich in Lemma 42.5 die Anfangsbedingungen?


Aufgabe *

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Aufgabe

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe *

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .


Aufgabe

Finde für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem

Lösungen mit und , wobei sind.


Aufgabe

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

gleich

ist.


Aufgabe

Es sei die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von nach und die Ableitung, aufgefasst als Operator[1]

Zu einem Polynom , , betrachten wir den Operator

Berechne für und . Zeige, dass eine lineare Abbildung auf ist.


Aufgabe

Es sei und . Zeige, dass der Differentialoperator die Funktionen mit auf die Nullfunktion abbildet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


Aufgabe (6 Punkte)

Sei . Bestimme den Lösungsraum zum linearen Differentialgleichungssystem


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die allgemeine Lösung des linearen Differentialgleichungssystems




Fußnoten
  1. Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator.


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