Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 43

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung ,
  6. im Punkt in Richtung .


Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung .


Aufgabe *

Bestimme zur Funktion

die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.


Aufgabe

Sei

eine Funktion. Zeige, dass in einem Punkt genau dann differenzierbar ist, wenn in in Richtung differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

gilt.


Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung .


Aufgabe

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume, eine offene Teilmenge, und eine Abbildung. Es sei ein Punkt und ein fixierter Vektor. Zeige, dass in in Richtung genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um definierte) Kurve

differenzierbar ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit

gilt.

Wie muss dabei das Intervall bzw. die offene Umgebung gewählt werden?

Aufgabe

Bestimme, für welche Richtungen die Richtungsableitung im Nullpunkt zur Funktion

existieren.


Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die Richtungsableitung der euklidischen Norm

existiert.


Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte und welche Richtungen die Richtungsableitung der Funktion

existiert.


Aufgabe

Untersuche die Funktion

im Nullpunkt auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von auf im Nullpunkt ein Extremum besitzt.


Aufgabe

Es seien und euklidische Vektorräume und

seien Abbildungen auf einer offenen Menge , die in Richtung differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung

in Richtung differenzierbar ist, und dass

gilt.


Aufgabe

Es sei der Einheitskreis und

eine Funktion mit , gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.

  1. Zeige, dass durch und

    für eine Funktion auf definiert ist.

  2. Zeige, dass genau dann stetig ist, wenn stetig ist.
  3. Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges derart, dass im Nullpunkt stetig ist.
  4. Zeige, dass die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
  5. Zeige, dass im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
  6. Es sei

    Zeige, dass in jedem Punkt nur in eine Richtung (bis auf Skalierung) eine Richtungsableitung besitzt.


Aufgabe

Es seien und reelle endlichdimensionale Vektorräume, offen und ein Vektor. Es bezeichne die Menge aller in Richtung differenzierbaren Abbildungen von nach . Zeige, dass die Abbildung

linear ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung ,
  5. im Punkt in Richtung ,
  6. im Punkt in Richtung ,
  7. im Punkt in Richtung ,
  8. im Punkt in Richtung .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

  1. im Punkt in Richtung ,
  2. im Punkt in Richtung ,
  3. im Punkt in Richtung ,
  4. im Punkt in Richtung .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion ()

in einem Punkt

in Richtung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 43.14, dass zu einer polynomialen Funktion

zu einer fixierten Richtung die Richtungsableitung existiert und selbst polynomial ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume, sei offen, ein Punkt, ein Vektor und sei

eine Abbildung, die im Punkt in Richtung differenzierbar sei. Zeige, dass auch in Richtung  mit differenzierbar ist und die Beziehung

gilt.



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