Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 43

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy,$

1. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(2,5)$,
3. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
4. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(0,1)$,
5. im Punkt ${}(2,3)$ in Richtung ${}(-1,0)$,
6. im Punkt ${}(3,7)$ in Richtung ${}(5,-4)$.

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x}{y}},$

1. im Punkt ${}(0,1)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,1)$ in Richtung ${}(0,1)$,
3. im Punkt ${}(1,3)$ in Richtung ${}(2,4)$,
4. im Punkt ${}(-1,6)$ in Richtung ${}(-3,-1)$,
5. im Punkt ${}\left(1,\,{\frac {1}{100}}\right)$ in Richtung ${}(0,-1)$.

Aufgabe *

Bestimme zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto t^{2},$

die Richtungsableitung in Richtung ${}3$ für jeden Punkt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R}$ genau dann differenzierbar ist, wenn ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}1$ differenzierbar ist, und dass dann die Gleichheit

${}{\left(D_{1}f\right)}{\left(P\right)}=f'(P)\,$

gilt.

Aufgabe

Bestimme die Richtungsableitung einer Abbildung in Richtung ${}0$.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge, und ${}f\colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt und ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ genau dann differenzierbar ist, wenn die (auf einem Intervall bzw. einer offenen Ballumgebung um ${}0\in {\mathbb {K} }$ definierte) Kurve

$g\colon I\longrightarrow W,\,t\longmapsto g(t)=f(P+tv),$

differenzierbar ist, und dass in diesem Fall die Gleichheit

${}{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}=g'(0)\,$

gilt.

Wie muss dabei das Intervall bzw. die offene Umgebung gewählt werden?

Aufgabe

Bestimme, für welche Richtungen die Richtungsableitung im Nullpunkt zur Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\max {\left(x,y\right)}},$

existieren.

Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ und welche Richtungen ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Richtungsableitung der euklidischen Norm

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto {\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}},$

existiert.

Aufgabe

Bestimme, für welche Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und welche Richtungen ${}v\in \mathbb {R} ^{2}$ die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto \vert {x+y}\vert ,$

existiert.

Aufgabe

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2},$

im Nullpunkt ${}(0,0)$ auf Richtungsableitungen. Man entscheide für jede Gerade ${}G$ durch den Nullpunkt, ob die Einschränkung von ${}f$ auf ${}G$ im Nullpunkt ein Extremum besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und

$f,g\colon G\longrightarrow W$

seien Abbildungen auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$, die in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar seien. Zeige, dass dann auch die Abbildung

$h\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,P\longmapsto \left\langle f(P),g(P)\right\rangle ,$

in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist, und dass

${}(D_{v}h)(P)=\left\langle f(P),(D_{v}g)(P)\right\rangle +\left\langle (D_{v}f)(P),g(P)\right\rangle \,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ der Einheitskreis und

$g\colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion mit ${}g(-Q)=-g(Q)$, gegenüberliegende Punkte auf dem Kreis haben also zueinander negierte Werte.

1. Zeige, dass durch ${}f(0)=0$ und

   ${}f(P):=\Vert {P}\Vert g\left({\frac {P}{\Vert {P}\Vert }}\right)\,$

   für ${}P\neq 0$ eine Funktion auf ${}\mathbb {R} ^{2}$ definiert ist.

2. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn ${}g$ stetig ist.
3. Man gebe ein Beispiel für ein nichtstetiges ${}g$ derart, dass ${}f$ im Nullpunkt stetig ist.
4. Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt linear ist.
5. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt in jede Richtung differenzierbar ist.
6. Es sei

   ${}g(Q)={\begin{cases}1,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ rational ist }}\\0,{\text{ falls die }}x-{\text{Koordinate von }}Q{\text{ irrational ist}}\,.\end{cases}}\,$

   Zeige, dass ${}f$ in jedem Punkt ${}P\neq 0$ nur in eine Richtung (bis auf Skalierung) eine Richtungsableitung besitzt.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ reelle endlichdimensionale Vektorräume, ${}G\subseteq V$

offen und ${}v\in V$ ein Vektor. Es bezeichne ${}C_{v}^{1}(G,W)$ die Menge aller in Richtung ${}v$ differenzierbaren Abbildungen von ${}G$ nach ${}W$. Zeige, dass die Abbildung

$C_{v}^{1}(G,W)\longrightarrow {\rm {Abb}}(G,W),\,\varphi \longmapsto D_{v}\varphi ,$

linear ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}\sin y-e^{x}y-x,$

1. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(0,1)$,
3. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(2,0)$,
4. im Punkt ${}(0,0)$ in Richtung ${}(1,-3)$,
5. im Punkt ${}(1,1)$ in Richtung ${}(1,1)$,
6. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(-1,{\frac {1}{2}})$,
7. im Punkt ${}(5,7)$ in Richtung ${}(1,0)$,
8. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(5,7)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung der Funktion

$\mathbb {R} ^{2}\setminus {\left\{(x,y)\mid x^{2}+y^{3}=0\right\}}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {x^{2}-xy+y^{4}}{x^{2}+y^{3}}},$

1. im Punkt ${}(1,1)$ in Richtung ${}(1,0)$,
2. im Punkt ${}(0,1)$ in Richtung ${}(0,1)$,
3. im Punkt ${}(1,0)$ in Richtung ${}(0,1)$,
4. im Punkt ${}(3,-2)$ in Richtung ${}(2,-5)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitungen der Funktion (${}r_{i}\in \mathbb {N}$)

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto x_{1}^{r_{1}}{\cdots }x_{n}^{r_{n}},$

in einem Punkt

$a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$

in Richtung

$v=(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, unter Verwendung von Aufgabe 43.16, dass zu einer polynomialen Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n}),$

zu einer fixierten Richtung ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ die Richtungsableitung ${}D_{v}\varphi$ existiert und selbst polynomial ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}G\subseteq V$

offen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}v\in V$ ein Vektor und sei

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung, die im Punkt ${}P$ in Richtung ${}v$ differenzierbar sei. Zeige, dass ${}f$ auch in Richtung ${}cv$ mit ${}c\in {\mathbb {K} }$ differenzierbar ist und die Beziehung

${}{\left(D_{cv}f\right)}{\left(P\right)}=c{\left(D_{v}f\right)}{\left(P\right)}\,$

gilt.