Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 44/latex

\setcounter{section}{44}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb R}^2 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y)} {{ \left( x^3y-x^2,x^4y^2-3xy^3+5y \right) } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb R}^3 } {{\mathbb R}^2 } {(x,y,z)} { { \left( x^2yz^3- \sin x , \exp (x^4y) -2x^2z^3 \cos (xy^2z) \right) } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { { \left\{ (x,y) \in {\mathbb R}^2 \mid y \neq 0 \right\} } } {{\mathbb R} } {(x,y)} { { \frac{ x }{ y } } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2 \setminus\{(0,0)\}} {\R^3 } {(x,y)} { \left( { \frac{ \sin x }{ x^2+y^4 } } , \, { \frac{ x^2y }{ x^2+y^2 } } , \, \ln (x^2+y^2) \right) } {,} in jedem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {z^2 } {,} in reellen Koordinaten und bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{.} Ebenso für $z^3, z^4, z^5$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {höheren Richtungsableitungen}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K} } {(x,y)} {x^2y^3-x^3y } {,} die sich mit den beiden Standardrichtungen
\mathl{(1,0)}{} und
\mathl{(0,1)}{} ausdrücken lassen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{\lambda \in \R}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(t,x) }
{ =} { \sin \left( \lambda x \right) e^{- \lambda^2 t} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ die
\betonung{Wärmeleitungsgleichung}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial t } } }
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \frac{ \partial f }{ \partial x } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} \maabb {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} beliebig oft \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {,} die im Nullpunkt \definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{} ist und dort die Eigenschaft besitzt, dass die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in keine Richtung
\mathl{v=(a,b)}{} mit
\mathl{a,b \neq 0}{} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{P,Q}{} zwei komplexe \zusatzklammer {bzw. reelle} {} {} Polynome und \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2} {{\mathbb K}^2 } {(x,y)} {(P(x,y),Q(x,y)) } {,} die zugehörige Abbildung. Die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} zu $\varphi$ sei in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb K}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $0$ verschieden. \aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Determinante konstant ist. } {Zeige durch ein Beispiel, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K} }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Determinante nicht konstant sein muss. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige für Polynomfunktionen \maabbdisp {f} {{\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} direkt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_j } } }
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass keine \definitionsverweis {partiell differenzierbare Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {} existiert, so dass
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } (x,y) = xy \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (x,y) = y^2} { }
für alle $(x,y) \in \R^2$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{,} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
\mathl{G \subseteq V}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine $n$-mal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_{n}}{} eine Auswahl von $n$ Vektoren aus $V$. Zeige, dass dann für jede \definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mathl{\sigma \in S_n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_{ v_n}(... D_{ v_2} (D_{ v_1}\varphi ) \ldots ) }
{ =} { D_{ v_{\sigma(n)} }(... D_{ v_{\sigma(2)} } (D_{ v_{\sigma(1)} }\varphi ) \ldots ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb K}^3 } {{\mathbb K}^3 } {(x,y,z)} { { \left( \sin xy ,x^2y^3z^4-y \sinh z, xy^2z+5 \right) } } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Jacobi-Matrix}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb K}^2 } { {\mathbb K} } {(x,y)} {xy^3-x^2y^2-4y^2 } {.}

Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} dieser Abbildung in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} in Richtung
\mathl{(2,5)}{.} Bestätige, dass sich diese Richtungsableitung auch ergibt, wenn man die Jacobi-Matrix auf den Vektor
\mathl{(2,5)}{} anwendet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass keine \definitionsverweis {partiell differenzierbare Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {} existiert, so dass
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } (x,y) = xy \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (x,y) = y^2} { }
für alle $(x,y) \in \R^2$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} { {\mathbb K}^n } { {\mathbb K} } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{.} Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass sämtliche $k$-ten \definitionsverweis {Richtungsableitungen}{}{} $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {\varphi(x,y) } {,} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,} für die in jedem Punkt
\mathl{P \in \R^2}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial^2 }{ \partial y \partial x } } \varphi (P) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelte. Zeige, dass es dann Funktionen \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(x,y) }
{ =} {f(x) + g(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y) }
{ =} { \begin{cases} xy { \frac{ x^2-y^2 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zweimal \definitionsverweis {partiell differenzierbar}{}{} ist, und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_1D_2f(0,0) }
{ \neq} { D_2D_1f(0,0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}