Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 45
- Übungsaufgaben
Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe
Es sei konstant mit für alle . Zeige, dass differenzierbar ist mit totalem Differential .
Aufgabe
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Es sei im Punkt differenzierbar mit dem Differential . Zeige, dass für alle die Beziehung
gilt.
Aufgabe
Es sei
eine Polynomfunktion. Zeige, dass im Nullpunkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
Aufgabe
Es sei
eine Polynomfunktion. Zeige, dass in jedem Punkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.
Aufgabe
Es seien , und endlichdimensionale - Vektorräume.
- Es seien
und
-
lineare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
-linear ist.
- Es seien
und
im Punkt
differenzierbare Abbildungen.
Zeige, dass die Abbildung
im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential
Aufgabe
Es seien endlichdimensionale - Vektorräume und eine offene Teilmenge. Weiter seien Abbildungen und . Wir nennen im Punkt tangential äquivalent, wenn der Limes
existiert und gleich ist.
- Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von nach gegeben ist.
- Es sei total differenzierbar. Zeige, dass zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
- Es seien und tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall genau dann in total differenzierbar ist, wenn dies für gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt übereinstimmen.
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation
in jedem Punkt differenzierbar ist mit
Aufgabe
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.
Aufgabe
Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Umparametrisierung ) ab.
Aufgabe
Es sei ein reelles Intervall und seien
zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.2.
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine offene Teilmenge. Weiter seien zwei in differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 45.2 auf das Diagramm
an, um zu zeigen, dass die Gleichung
gilt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Intervall, ein reeller Vektorraum und
eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung
besteht.
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Menge, eine Abbildung und eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
- ist differenzierbar in mit dem totalen Differential .
-
Der
Limes
existiert und ist gleich .
- Der Limes
existiert und ist gleich .
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung
Aufgabe (4 Punkte)
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume, eine offene Mengen, ein Punkt, und in differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung
in differenzierbar ist mit
Tipp: Verwende Aufgabe 45.9 und die Kettenregel.
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