Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 45

Übungsaufgaben

Für dieses Aufgabenblatt darf die Beziehung zwischen totalem Differential und partiellen Ableitungen bzw. Richtungsableitungen nicht verwendet werden.

Aufgabe

Ist die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

im Punkt ${}-3$ total differenzierbar? Was ist das totale Differential in diesem Punkt?

Aufgabe

Berechne für die Addition

$+\colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und für die Multiplikation

$\cdot \colon {\mathbb {R} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

das totale Differential.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ konstant mit ${}\varphi (v)=w\in W$ für alle ${}v\in V$. Zeige, dass ${}\varphi$ differenzierbar ist mit totalem Differential ${}0$.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ im Punkt ${}P\in G$ differenzierbar mit dem Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$. Zeige, dass für alle ${}a\in {\mathbb {K} }$ die Beziehung

${}\left(D(a\varphi )\right)_{P}=a\left(D\varphi \right)_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Polynomfunktion. Zeige, dass ${}f$ in jedem Punkt differenzierbar ist. Man gebe dabei explizit das totale Differential und die Abweichungsfunktion an.

Aufgabe

Es seien ${}V$, ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume.

1. Es seien ${}L_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}L_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ ${}{\mathbb {K} }$- lineare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $L_{1}\times L_{2}\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,v\longmapsto (L_{1}(v),L_{2}(v)),$

   ${}{\mathbb {K} }$-linear ist.

2. Es seien ${}f_{1}\colon V\rightarrow W_{1}$ und ${}f_{2}\colon V\rightarrow W_{2}$ im Punkt ${}P\in V$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die Abbildung

   $f=(f_{1}\times f_{2})\colon V\longrightarrow W_{1}\times W_{2},\,Q\longmapsto (f_{1}(Q),f_{2}(Q)),$

   im Punkt P differenzierbar ist mit dem totalen Differential

   ${}\left(Df\right)_{P}=\left(Df_{1}\right)_{P}\times \left(Df_{2}\right)_{P}\,.$

Aufgabe

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow W$ Abbildungen und ${}P\in G$. Wir nennen ${}f,g$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0}\,{\frac {(f-g)(P+v)}{\Vert {v}\Vert }}$

existiert und gleich ${}0$ ist.

1. Zeige, dass dadurch eine Äquivalenzrelation auf der Abbildungsmenge von ${}G$ nach ${}W$ gegeben ist.
2. Es sei ${}f$ total differenzierbar. Zeige, dass ${}f$ zu seiner linearen Approximation tangential äquivalent ist.
3. Es seien ${}f$ und ${}g$ tangential äquivalent. Zeige, dass in diesem Fall ${}f$ genau dann in ${}P$ total differenzierbar ist, wenn dies für ${}g$ gilt, und dass ihre totalen Differentiale im Punkt ${}P$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

$\varphi \colon {\mathbb {K} }\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

in jedem Punkt ${}P=(s,v)$ differenzierbar ist mit

${}\left(D\varphi \right)_{P}(t,w)=tv+sw\,.$

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für Funktionen in einer Variablen ab.

Aufgabe

Leite aus der allgemeinen Kettenregel die Kettenregel für differenzierbare Kurven (für eine differenzierbare Kurve ${}f\colon J\rightarrow V$ und eine differenzierbare Umparametrisierung ${}h\colon I\rightarrow J$) ab.

Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall und seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei differenzierbare Funktionen. Beweise die Produktregel aus der allgemeinen Kettenregel unter Verwendung von Aufgabe 45.2.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$- Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe 45.2 auf das Diagramm

$G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

${}\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}W$ ein euklidischer Vektorraum und

$\varphi \colon I\longrightarrow W$

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

${}{\left(D\varphi \right)}_{t}{\left(1\right)}=\varphi '(t)\,$

besteht.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung und ${}L\colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist differenzierbar in ${}P$ mit dem totalen Differential ${}L$.
2. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

3. Der Limes

   $\operatorname {lim} _{v\rightarrow 0,v\neq 0}\,{\frac {\Vert {\varphi (P+v)-\varphi (P)-L(v)}\Vert }{\Vert {v}\Vert }}$

   existiert und ist gleich ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ differenzierbare Funktionen in einer Variablen. Bestimme das totale Differential der Abbildung

${\mathbb {R} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {R} }^{n},\,(x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (f_{1}(x_{1}),\ldots ,f_{n}(x_{n})).$

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Mengen, ${}P\in G$ ein Punkt, ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {K} }$ in ${}P$ differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann die Produktabbildung

$f\cdot \varphi \colon G\longrightarrow W$

in ${}P$ differenzierbar ist mit

${}\left(D(f\cdot \varphi )\right)_{P}=f(P)\cdot \left(D\varphi \right)_{P}+\left(Df\right)_{P}\cdot \varphi (P)\,.$

Tipp: Verwende Aufgabe 45.9 und die Kettenregel.