Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 46/latex

\setcounter{section}{46}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ konstant ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^2 } {{\mathbb K}^2 } {(x,y)} {\left( xy-2y^3+5 , \, x^3-xy^2+y \right) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,2)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(4,-3)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^3 } { {\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} {( xy-zy+2z^2, \sin (x^2yz)) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(1,-1,\pi)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(2,0,5)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {{\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^3 } {(x,y)} {( x+y^2,xy, \exp x) } {,} in jedem Punkt.

b) Was ist das totale Differential im Punkt
\mathl{(3,2)}{?}

c) Berechne die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in diesem Punkt in Richtung
\mathl{(-1,-7)}{.}

d) Berechne den Wert von $\varphi$ in diesem Punkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} der \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {\det} {\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K}) } { {\mathbb K} } {M} { \det M } {,} für
\mathl{n=2,3}{} an der \definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestätige die Kettenregel für
\mathl{g \circ f}{} für die beiden differenzierbaren Abbildungen \maabbeledisp {f} {\R} {\R^2 } {t} {(t^3-t,-t^2) } {,} und \maabbeledisp {g} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy+x+y } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K}^2 } { {\mathbb K}^3 } {(u,v)} {(u^2v^2,u+ \sin v,v^3) } {,} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb K}^3} { {\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} {(x^2y-z^2,xy^2 +yz \exp x ) } {,} und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} in folgenden Schritten. \aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.} }{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mathl{Q \in {\mathbb K}^3}{} das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen. }{Berechne explizit die Komposition \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K} ^2 } {.} }{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {.} }{Berechne das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {} in einem Punkt
\mathl{P \in {\mathbb K}^2}{} mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2). }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{G \subseteq {\mathbb K}^m}{} und
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}^n}{} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{,} und \maabb {f} {G} { {\mathbb K}^n } {} und \maabb {g} {D} { {\mathbb K}^k } {} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} derart, dass
\mathl{f(G) \subseteq D}{} gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ in
\mathl{P \in G}{} und $g$ in
\mathl{f(P) \in D}{} \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial (g \circ f)_j }{ \partial x_i } } (P) }
{ =} { \left( { \frac{ \partial g_j }{ \partial y_1 } } (f(P)) , \, \ldots , \, { \frac{ \partial g_j }{ \partial y_n } } (f(P)) \right) \begin{pmatrix} { \frac{ \partial f_1 }{ \partial x_i } } (P) \\ \vdots\\ { \frac{ \partial f_n }{ \partial x_i } } (P) \end{pmatrix} }
{ =} { \sum_{r = 1}^n { \frac{ \partial g_j }{ \partial y_r } } (f(P)) \cdot { \frac{ \partial f_r }{ \partial x_i } } (P) }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{ {\mathbb K}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offene Mengen}{}{,} und \maabb {f} {G} { {\mathbb K}^n } {} und \maabb {g} {D} { {\mathbb K}^k } {} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(G) }
{ \subseteq }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Es sei weiter angenommen, dass $f$ und $g$ $\ell$-fach \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} sind. Zeige, dass auch
\mathl{g \circ f}{} $\ell$-fach stetig differenzierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xf(y) } {,} genau dann im Punkt
\mathl{(0,0)}{} \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist, wenn $f$ in $0$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {offen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {W } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} ist, wenn $\varphi$ \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist und wenn die Abbildung \maabbeledisp {} {G} { \operatorname{Hom} \, (V,W) } {P} { \left(D\varphi\right)_{P} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} { \R^n} { \R^n } {} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} im Nullpunkt und sei
\mathl{{(h_m)}_{m \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in
\mathl{\R^n \setminus \{ 0\}}{} mit
\mathdisp {\lim_{m \to \infty} h_m = 0, \lim_{m \to \infty} \frac{h_m}{ \Vert {h_m} \Vert } = v \in \R^n, f(h_m) = f(h_k) \text { für alle } m,k \in \N} { . }
Zeige, dass $v$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} von $\left(Df\right)_{0}$ zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $0$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbdisp {f} {\R^2} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y) }
{ \defeq} { \begin{cases} { \frac{ x^3 }{ x^2+y^2 } } \text{ für } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ für } (x,y) = (0,0) \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

a) Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.

b) Zeige, dass die Einschränkung von $f$ auf jede Gerade durch den Nullpunkt eine lineare Abbildung ist.

c) Zeige, dass zu $f$ im Nullpunkt in jede Richtung die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} existiert.

d) Zeige, dass $f$ im Nullpunkt nicht \definitionsverweis {total differenzierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {metrische Räume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P) }
{ =} {Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und es sei \maabbdisp {f} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{,} die im Punkt
\mathl{Q \in M}{} ein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{} besitze. Zeige, dass
\mathdisp {f \circ \varphi} { }
in $P$ ein lokales Extremum besitzt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb K} ^2 } { {\mathbb K}^3 } {(u,v)} {(uv,u-v,v^2) } {,} und \maabbeledisp {\psi} { {\mathbb K}^3} { {\mathbb K}^2 } {(x,y,z)} {(xyz^2,y \exp(xz)) } {,} und ihrer Komposition
\mathl{\psi \circ \varphi}{} veranschaulichen. \aufzaehlungfuenf{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb K}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {totale Differential}{}{}
\mathl{\left(D\varphi\right)_{P}}{} mit Hilfe von \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{.} }{Berechne für einen beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ \in }{ {\mathbb K}^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das totale Differential
\mathl{\left(D\psi\right)_{Q}}{} mit Hilfe von partiellen Ableitungen. }{Berechne explizit die Komposition \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {.} }{Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb K}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {.} }{Berechne das totale Differential von \maabb {\psi \circ \varphi} { {\mathbb K}^2} { {\mathbb K}^2 } {} in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb K}^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2). }

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Wir betrachten die Funktionen
\mathdisp {\R^2 \stackrel{f}{\longrightarrow} \R^3 \stackrel{g}{\longrightarrow} \R^2 \stackrel{h}{\longrightarrow} \R^2} { }
mit
\mathdisp {f(u,v) = (u^2,uv,u-v^2)} { , }

\mathdisp {g(x,y,z) = (x+y^2-z,x^2yz)} { , }
und
\mathdisp {h(r,s) = (r^2s,s^2)} { . }
Berechne das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} von
\mathl{h \circ g \circ f}{} in einem beliebigen Punkt
\mathl{P=(u,v)}{} auf vier verschiedene Arten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Untersuche die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = \begin{cases} { \frac{ xy }{ \sqrt{x^2+y^2} } } \text{ bei } (x,y) \neq (0,0) \, , \\ 0 \text{ bei } (x,y) = (0,0) \, , \end{cases} } {} auf \definitionsverweis {partielle Ableitungen}{}{} und \definitionsverweis {totale Differenzierbarkeit}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann eine \definitionsverweis {Verschiebung}{}{} ist, also von der Art
\mathl{P \mapsto P+v}{} mit einem festen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(D\varphi\right)_{P} }
{ =} { \operatorname{Id}_{ V } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R^n} {\R^m \setminus \{ 0\} } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dann auch die Abbildung \maabbeledisp {} {\R^n} {\R } {P} { \Vert {f(P)} \Vert } {,} differenzierbar ist und bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{10}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\varphi} { \R} { \R^n } {} und eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R^n} {\R } {,} für die die \definitionsverweis {Richtungsableitung}{}{} in jede Richtung existiert, derart, dass die Verknüpfung \maabbdisp {f \circ \varphi} {\R} {\R } {} nicht differenzierbar ist.

}
{} {}