Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 47

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum ${}{V}^{*}$ die gleiche Dimension wie ${}V$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum mit Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}{V}^{*}:=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,$

der Dualraum zu ${}V$. Zeige, dass auf ${}{V}^{*}$ die Koordinatenfunktionen ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$, die durch

$v_{j}^{*}(v_{k})={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=k,\\0{\text{ sonst}},\end{cases}}$

definiert sind, eine Basis von ${}{V}^{*}$ bilden.

Aufgabe

Betrachte die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.$

1. Bestimme den Vektor ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

2. Es sei ${}E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ und es sei ${}\varphi =L{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$. Bestimme den Vektor ${}w\in E$ mit der Eigenschaft

   $\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

   wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform und ${}v\in V$ der zugehörige Gradient im Sinne von Fakt *****. Zeige, dass der Gradient ${}u\in U$ zur Einschränkung ${}f{|}_{U}$ die orthogonale Projektion von ${}v$ auf ${}U$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von ${}0$ verschiedene lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}y-z^{3}xe^{xyz},$

in jedem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xyz-z^{2}}{\ln(xy)+z^{2}}},$

in jedem Punkt ${}P\in G$ mit ${}G=\mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R} _{>1}\times \mathbb {R}$

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ${}f$ und ${}\left(Df\right)_{P}$ im Punkt ${}P$ den gleichen Gradienten besitzen.

Aufgabe

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge, ${}P\in G$ ein Punkt und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in ${}P$ differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum Kern von ${}\left(Df\right)_{P}$ gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,f(P)$ ist.

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}.$

Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{2}-x.$

Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-y^{2}+x.$

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und ${}L\times M$ ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

$L\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto y,$

über einem Punkt ${}y\in M$. Kann die Faser leer sein?

Aufgabe

Seien ${}L_{1},\ldots ,L_{n}$ und ${}M_{1},\ldots ,M_{n}$ Mengen und seien

$\varphi _{i}\colon L_{i}\longrightarrow M_{i}$

Abbildungen. Zu einem Punkt ${}P_{i}\in M_{i}$ sei ${}F_{i}\subseteq L_{i}$ die Faser von ${}\varphi _{i}$ über ${}P_{i}$. Zeige, dass die Faser der Produktabbildung ${}\varphi =\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}$ über ${}P=(P_{1},\ldots ,P_{n})$ gleich ${}F_{1}\times \cdots \times F_{n}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}y-x+y^{3},$

im Punkt ${}P=(1,1)$ in Richtung des Winkels ${}\alpha \in [0,2\pi ]$. Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+\sin \left(y\right)-xz.$

1. Bestimme den Gradienten ${}G$ von ${}f$ im Punkt ${}P=(0,0,0)\in \mathbb {R} ^{3}$ bezüglich des Standardskalarprodukts ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Es sei

   ${}E={\left\{(x,y,z)\mid 2x-y+3z=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

   und es sei ${}g=f{|}_{E}$ die Einschränkung von ${}f$ auf ${}E$. Bestimme den Gradienten ${}{\tilde {G}}$ von ${}g$ bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$.

3. Zeige, dass ${}{\tilde {G}}$ die orthogonale Projektion von ${}G$ auf ${}E$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto xy^{3}-xy+\sin y.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte zur Funktion

${}f(x,y)=x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}-6y^{3}-6x^{2}y+8y^{2}\,$

aus Beispiel 46.9.