Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 47

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum von endlicher Dimension. Zeige, dass der Dualraum die gleiche Dimension wie besitzt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Basis . Es sei

der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch

definiert sind, eine Basis von bilden.


Aufgabe

Betrachte die Linearform

  1. Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei das Standardskalarprodukt bezeichnet.

  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Vektor mit der Eigenschaft

    wobei die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf bezeichnet.


Aufgabe

Zeige, dass ein Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum und ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

eine Linearform und der zugehörige Gradient im Sinne von Fakt *****. Zeige, dass der Gradient zur Einschränkung die orthogonale Projektion von auf ist.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?


Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

in jedem Punkt .


Aufgabe

Berechne den Gradienten der Funktion

in jedem Punkt mit


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass und im Punkt den gleichen Gradienten besitzen.


Aufgabe

Es sei ein euklidischer Vektorraum, eine offene Menge, ein Punkt und

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass ein Vektor genau dann zum Kern von gehört, wenn er orthogonal zum Gradienten ist.


Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe *

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe

Es seien und Mengen und ihre Produktmenge. Beschreibe die Faser der Projektion

über einem Punkt . Kann die Faser leer sein?


Aufgabe

Seien und Mengen und seien

Abbildungen. Zu einem Punkt sei die Faser von über . Zeige, dass die Faser der Produktabbildung über gleich ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Anstieg der Funktion

im Punkt in Richtung des Winkels . Für welchen Winkel ist der Anstieg maximal?


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

  1. Bestimme den Gradienten von im Punkt bezüglich des Standardskalarprodukts .
  2. Es sei

    und es sei die Einschränkung von auf . Bestimme den Gradienten von bezüglich der Einschränkung des Standardskalarprodukts auf .

  3. Zeige, dass die orthogonale Projektion von auf ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte zur Funktion

aus Beispiel 46.9.



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