Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 70/latex

\setcounter{section}{70}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
\mathl{M_n \uparrow M}{} und sei \maabbdisp {f_n} {M} {\R } {} eine \definitionsverweis {wachsende}{}{} \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {nichtnegativen}{}{} \definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{} mit der \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} \maabbdisp {f} {M} { \overline{ \R } } {.} Zeige, dass
\mathl{S^o(M_n;f_n)}{} eine Ausschöpfung von
\mathl{S^o(M;f)}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbdisp {f_n} {\R} {\R } {} mit
\mathl{f_n= 1 - { \frac{ 1 }{ n } }}{} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {.} Es sei $f$ die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{.} Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{n \in \N_+} S(f_n) }
{ =} {S(f) \setminus \Gamma_f }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {} zwei \definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und es seien \maabbdisp {f} {M } { \overline{ \R } } {} und \maabbdisp {g} {N } { \overline{ \R } } {} \definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{M \times N} (f+g) d \mu \otimes \nu }
{ =} { \nu (N) \cdot \int_M f(x) d \mu (x) + \mu (M) \cdot \int_N g(y) d \nu (y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {t} {1-t^2 } {.} Für welches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt die zugehörige zweistufige \zusatzklammer {maximale} {} {} \definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{} zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $\overline{ \R }$. Zeige, dass die Folge genau dann \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ =} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine beschränkte reelle Folge, \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{} und
\mathl{y_n=f(x_n)}{} die Bildfolge. Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und $G$ die Menge der Häufungspunkte von
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{.}

a) Zeige
\mathl{f(H) \subseteq G}{.}

b) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } \right) } }
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( y_n \right) }_{n \in \N } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f_n:[1,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}$, für $n\in\mathbb{Z}_+$, die Funktionenfolge
\mathdisp {f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n^2}, \text{ falls } x\in[n,+\infty[ \, , \\ 0, \text{ anderfalls } . \end{cases}} { }
Berechnen Sie
\mathdisp {\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n \text{ und } \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{[1,+\infty]}f_n d\lambda^1.} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f_n:[0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}$, für $n\in\mathbb{Z}_+$, die Funktionenfolge
\mathdisp {f_n(x) = \frac{\mathrm{exp}(-nx)}{x+n}.} { }
Berechnen Sie
\mathdisp {\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n \text{ und } \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{[0,+\infty]}f_n d\lambda^1.} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $\overline{ \R }$ und sei
\mathdisp {y_n := \inf { \left( x_k, \, k \geq n \right) }} { . }

a) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} \definitionsverweis {wachsend}{}{} ist.

b) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen
\mathl{\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }}{} \definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein \definitionsverweis {Messraum}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R } } {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{.} Zeige, dass dann auch die Funktionen \maabbeledisp {\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( f_n \right) }_{n \in \N } \right) }} {M} { \overline{ \R } } {x} { \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N } \right) } } {,} und \maabbeledisp {\operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( f_n \right) }_{n \in \N } \right) }} {M} { \overline{ \R } } {x} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N } \right) } } {,} \definitionsverweis {messbar}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein $\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{} \definitionsverweis {Maßraum}{}{} und sei \maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0 } } {} \zusatzklammer {\mathlk{n \in \N}{}} {} {} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} von \definitionsverweis {nichtnegativen}{}{} \definitionsverweis {messbaren numerischen Funktionen}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } \sum_{n = 0}^\infty f_n \, d \mu }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty \int_{ M } f_n \, d \mu }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechnen Sie

\mathdisp {\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{\pi/2}\big(1-\sqrt{\mathrm{sin} x}\big)^n\mathrm{cos} x \mathrm{d}x.} { }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Unter einer \stichwort {Quader-Treppenfunktion} {} verstehen wir eine Abbildung \maabbdisp {t} { [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_d,b_d] } { \R } {,} für die es Intervallunterteilungen
\mathdisp {a_1=c_{10} <c_{11} < \ldots <c_{1 n_1}=b_1, \ldots , a_d=c_{d0} <c_{d1} < \ldots <c_{d n_d}=b_d} { , }
derart gibt, dass
\mathdisp {t {{|}}_{[ c_{1j_1}, c_{1\, j_1+1} ] \times \cdots \times} [ c_{dj_d},c_{d\, j_d+1} ]} { }
konstant ist. Das zugehörige Integral nennen wir Treppenintegral.

Es sei \maabbdisp {f} { [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_d,b_d] } { \R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass das Supremum der Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen von $f$ gleich dem Infimum der Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen von $f$ ist, und somit auch gleich dem Lebesgue-Integral.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {integrierbaren Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} für die das Integral nicht das \definitionsverweis {Supremum}{}{} über alle \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{} zu \definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5 (2+3)}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {[0,1] } {x} {x^2 } {.} Berechne für
\mathl{n=1,2 , \ldots , 5}{} das \definitionsverweis {Supremum}{}{} der Integrale zu den folgenden \definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{.}

a) Die Funktionen $g \leq f$, die auf den $n$ Teilintervallen
\mathl{[ { \frac{ k }{ n } }, { \frac{ k+1 }{ n } }[}{} \zusatzklammer {mit \mathlk{k=0 , \ldots , n-1}{}} {} {} konstant sind.

b) Die Funktionen $h \leq f$, die nur die Werte
\mathl{{ \frac{ k }{ n } }}{} annehmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[0,1]} {\R } {x} {f_n(x) = x^n } {,} die zugehörigen \definitionsverweis {Integrale}{}{,} den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Integrale, die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} und das Integral der Grenzfunktion.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} der Folge
\mathl{x_n = \sin \left( n { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)}{.} Was ist der \definitionsverweis {Limes inferior}{}{,} was der \definitionsverweis {Limes superior}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Limes inferior}{}{} und den \definitionsverweis {Limes superior}{}{} der \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(x) }
{ = }{ \sin (nx) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf
\mathl{[0, \pi]}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass der Satz von der majorisierten Konvergenz ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ \geq }{ \betrag { f_n } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein \zusatzklammer {eventuell unbeschränktes} {} {} Intervall und es sei \maabbdisp {f} { ]a,b[ } {\R } {} eine nichtnegative \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b f(t)dt}{} gleich dem \definitionsverweis {Lebesgue-Integral}{}{}
\mathl{\int_{ ]a,b[ } f \, d \lambda}{} \zusatzklammer {also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen} {} {} ist.

}
{} {}