Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 71

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Sei

Berechne die Integrale zum Parameter über und zum Parameter über . Bestimme jeweils die extremalen Integrale.


Mit Aufgabe 70.19 ist jetzt die folgende Aufgabe einfach zu lösen.

Aufgabe *

Es sei

eine stetige, streng fallende, bijektive Funktion mit der ebenfalls stetigen Umkehrfunktion

Es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral existiert. Zeige, dass dann auch das uneigentliche Integral existiert und dass der Wert dieser beiden Integrale übereinstimmt.


Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 12.10 und Beispiel 35.5.

Aufgabe

Es sei

(mit der von induzierten Metrik) und es seien ()

messbare Funktionen auf einem -endlichen Maßraum . Wir betrachten die Funktion

mit

und

Diskutiere den Satz von der majorisierten Konvergenz und Satz 71.1 in dieser Situation.


Aufgabe *

Es sei ein endlicher Maßraum und , , eine Familie von messbaren Mengen mit den zugehörigen Indikatorfunktionen . Wir betrachten die Abbildung

Zeige, dass die Abbildung

nicht stetig sein muss. Welche Voraussetzungen aus Satz 71.1 sind erfüllt, welche nicht?


Aufgabe

Es seien und differenzierbare Funktionen. Bestätige Satz 71.2 für

a) ,

b) .


Aufgabe

Zeige, dass die dritte Bedingung in Korollar 71.3 äquivalent zur Existenz von nichtnegativen, integrierbaren Funktionen

mit

ist.


Aufgabe

Sei so definiert

Untersuchen Sie auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Falls differenzierbar ist, was ist die Ableitung?


Aufgabe

Wir interpretieren eine Potenzreihe als eine Funktion auf , wobei der offene Ball mit der induzierten Metrik und mit dem Zählmaß versehen sei. Welche Eigenschaften von Satz 71.1 und von (einer komplexen Version von) Satz 71.2 sind (in Abhängigkeit von ) erfüllt? Wie kann man daraus Korollar 16.9 und Satz 20.9 erhalten?


Aufgabe

Begründe die Additivität des Integrals mit Hilfe von Satz 71.5.


Aufgabe

Diskutiere den Wikipediaartikel „Prinzip von Cavalieri“, insbesondere in Hinblick auf die Formulierung:

„Aus dem Prinzip von Cavalieri lässt sich herleiten, dass das Volumen eines 'höhengedehnten' Körpers (bei gleichbleibender Grundfläche) proportional zu seiner Höhe ist. Als Beispiel: Ein Körper, dessen Höhe auf diese Weise verdoppelt wird, kann durch 2 gleiche Ausgangskörper konstruiert werden, indem zuerst alle äquivalenten Schnittflächen zusammengelegt werden und diese in der entsprechenden Reihenfolge des Ausgangskörpers aufgeschichtet werden (beide Ausgangskörper werden quasi ineinandergeschoben) “. (Version vom 16. November 2015).


Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks mit dem Cavalieri-Prinzip.


Aufgabe *

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite und die Länge , die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite und die Länge , wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung . Der Tiefgang des Bootes soll maximal betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?


Aufgabe *

Es sei der Zylinder um die -Achse und der Zylinder um die -Achse, beide zum Radius . Bestimme das Volumen des Durchschnitts .


Aufgabe

Es sei ein -endlicher Maßraum und

messbare Funktionen. Zeige

wobei in natürlicher Weise als Funktion auf dem Subgraphen zu aufgefasst wird.


Aufgabe

Es sei eine messbare Teilmenge und es sei

eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle die Menge abzählbar sei. Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und kompakte Intervalle und es sei

eine stetige Funktion. Zeige mit Hilfe von Satz 71.1, dass auch die Funktion

stetig ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Fakultätsfunktion beliebig oft differenzierbar ist mit den Ableitungen


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Volumen des Kegels, dessen Spitze in liegt und dessen Grundfläche die durch

gegebene Ellipse ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei das Bildmaß unter der Multiplikation

Zeige, dass für jede Borelmenge

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Polynom in Variablen über und es sei

die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige


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