Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 70

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein Messraum mit einer Ausschöpfung und sei

eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren Funktionen mit der Grenzfunktion

Zeige, dass eine Ausschöpfung von ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Funktionenfolge

mit (). Es sei die Grenzfunktion. Zeige die Beziehung


Aufgabe *

Es seien und zwei endliche Maßräume und es seien

und

integrierbare Funktionen. Zeige


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Für welches besitzt die zugehörige zweistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe

Es sei eine Folge in . Zeige, dass die Folge genau dann konvergiert, wenn


Aufgabe *

Es sei eine beschränkte reelle Folge,

eine stetige Abbildung und die Bildfolge. Es sei die Menge der Häufungspunkte von und die Menge der Häufungspunkte von .

a) Zeige .

b) Zeige

c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.


Aufgabe

Es sei , für , die Funktionenfolge

Berechnen Sie


Aufgabe

Es sei , für , die Funktionenfolge

Berechnen Sie


Aufgabe

Es sei eine Folge in und sei

a) Zeige, dass die Folge wachsend ist.

b) Zeige, dass die Folge gegen punktweise konvergiert.


Aufgabe

Es sei ein Messraum und sei

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktionen

und

messbar sind.


Aufgabe

Es sei ein -endlicher Maßraum und sei

() eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe

Berechnen Sie


Aufgabe

Unter einer Quader-Treppenfunktion verstehen wir eine Abbildung

für die es Intervallunterteilungen

derart gibt, dass

konstant ist. Das zugehörige Integral nennen wir Treppenintegral.

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass das Supremum der Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen von gleich dem Infimum der Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen von ist, und somit auch gleich dem Lebesgue-Integral.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer integrierbaren Funktion

für die das Integral nicht das Supremum über alle Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen ist.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Berechne für das Supremum der Integrale zu den folgenden einfachen Funktionen.

a) Die Funktionen , die auf den Teilintervallen (mit ) konstant sind.

b) Die Funktionen , die nur die Werte annehmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die Funktionenfolge

die zugehörigen Integrale, den Grenzwert der Integrale, die Grenzfunktion und das Integral der Grenzfunktion.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Häufungspunkte der Folge . Was ist der Limes inferior, was der Limes superior?


Aufgabe (8 Punkte)

Bestimme den Limes inferior und den Limes superior der Funktionenfolge auf .


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Satz von der majorisierten Konvergenz ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante nicht gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein (eventuell unbeschränktes) Intervall und es sei

eine nichtnegative stetige Funktion. Zeige, dass das uneigentliche Integral gleich dem Lebesgue-Integral (also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen) ist.



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