Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 69

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In diesem Arbeitsblatt geht es ausschließlich um das Lebesgue-Integral, es darf nicht mit dem Riemann-Integral argumentiert werden.



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien und Mengen und es seien

und

Abbildungen. Zeige, dass für die Subgraphen die Beziehung

gilt.


Aufgabe

Zeige, dass das Integral der Nullfunktion gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Integral einer messbaren Funktion über einer Nullmenge gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein -endlicher Maßraum,

eine messbare Funktion und . Zeige, dass eine Nullmenge ist.


Aufgabe

Es sei ein -endlicher Maßraum, sei eine integrierbare nichtnegative numerische Funktionen auf und . Zeige, dass auch integrierbar ist und dass

gilt.


Aufgabe

Es sei eine abzählbare Menge, die mit dem Zählmaß versehen sei, und sei

eine Funktion. Zeige, dass genau dann integrierbar ist, wenn die Familie , , summierbar ist, und dass in diesem Fall das Integral gleich der Summe ist.


Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur linearen Funktion

über dem Intervall mit .


Aufgabe

Bestimme den Flächeninhalt des Subgraphen zur Funktion

über dem Intervall .


Aufgabe *

Es sei eine Menge und es sei eine Ausschöpfung von mit Teilmengen , . Zu jedem sei der Subgraph zur Indikatorfunktion . Zeige, dass die , , eine Ausschöpfung von bilden.


Aufgabe

Es seien und zwei endliche Maßräume und es sei

integrierbare Funktion. Zeige


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Für welches ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten?


Aufgabe

Es sei

eine lineare Abbildung, eine messbare Teilmenge und . Es sei

eine messbare Funktion. Zeige




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine kompakte Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass integrierbar ist. Man gebe auch eine Abschätzung für das Integral an.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein -endlicher Maßraum. Zeige, dass für jedes die Abbildung

maßtreu ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Volumen des Subgraphen zur linearen Funktion

(mit ) über dem Einheitsquadrat .


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welches ist die Tschebyschow-Abschätzung für diese Funktion am besten? Bestimme numerisch bis auf Nachkommastellen.



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