Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 72/latex

\setcounter{section}{72}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen einer gleichseitigen Pyramide \zusatzklammer {eines \stichwort {Tetraeders} {}} {} {} mit Seitenlänge $1$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Sinusbogen zwischen \mathkor {} {0} {und} {\pi} {} um die $x$-Achse gedreht wird.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn man den Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R_{\geq 0} } {t} {t+ \sqrt{t} +1 } {,} um die $t$-Achse rotieren lässt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Standardparabel um die $y$-Achse gedreht wird und dies mit der Ebene zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \anfuehrung{gedeckelt}{} wird, in Abhängigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Volumen der Einheitskugel mit dem Cavalieri-Prinzip.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Fasse die Einheitskugel als \definitionsverweis {Rotationskörper}{}{} auf und berechne damit ihr Volumen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von
\mathl{3 \times 3}{} Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von $5$ Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist $30$ cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von $20$ cm und oben am Rand einen Durchmesser von $25$ cm. Über Nacht hat es $5$ cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man aus dem Einheitszylinder, dessen Grundfläche eine Einheitskreisscheibe ist und der die Höhe $1$ besitzt, den \zusatzklammer {offenen} {} {} Kegel herausnimmt, der den oberen Zylinderdeckel als Grundfläche und den unteren Kreismittelpunkt als Spitze besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {[a,b]} {\R_+ } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \zusatzklammer {mit $a \leq b$ aus $\R$} {} {.} Zeige, dass die Oberfläche des zugehörigen Rotationskörpers, also die Menge
\mathdisp {M = { \left\{ (x, f(x) \cos \alpha , f(x) \sin \alpha ) \mid x \in [a,b] , \, \alpha \in [0, 2 \pi[ \right\} } \subseteq \R^3} { , }
das Volumen $0$ besitzt.

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wurst.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Wurst.png } {} {Rainer_Bielefeld} {Wikipedia.de} {GFDL} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Clusterförmige Anordnung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Clusterförmige Anordnung.png } {} {Rainer_Bielefeld} {Wikipedia.de} {GFDL} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sollen drei Kugeln mit Radius $1$ straff in eine Folie eingepackt werden. Berechne das Volumen des Gesamtpakets, wenn

a) die Kugeln linear und anliegend angeordnet werden,

b) die Kugeln als Dreieck anliegend angeordnet werden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wo liegt der Fehler in Beispiel 72.7?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ die \definitionsverweis {Kreisscheibe}{}{} mit dem Mittelpunkt in
\mathl{(0,R)}{} und dem Radius
\mathl{0 <r <R}{.} Berechne das Volumen des \definitionsverweis {Rotationskörpers}{}{,} der entsteht, wenn sich $K$ um die $x$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $V$ der \definitionsverweis {Viertelkreis}{}{} mit dem Mittelpunkt in
\mathl{(1,0)}{,} dem Radius
\mathl{1}{} und den Eckpunkten \mathkor {} {(0,0)} {und} {(1,1)} {.} Berechne das Volumen des \anfuehrung{runden Trichters}{,} der entsteht, wenn man $V$ um die $y$-Achse dreht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $D$ das \definitionsverweis {Dreieck}{}{} mit den Eckpunkten
\mathl{(3,4),\, (5,5)}{} und
\mathl{(4,6)}{.} Bestimme das Volumen des \definitionsverweis {Rotationskörpers}{}{,} der entsteht, wenn man $D$ um die $x$-Achse dreht.

}
{} {}