Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 73

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Berechne das Integral

über dem Quader .


Aufgabe

Es sei der Subgraph unterhalb der Standardparabel zwischen und . Berechne das Integral


Aufgabe *

a) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus addiert?

b) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus mit einer reellen Zahl aus multiplizert?

c) Was ist das durchschnittliche Ergebnis, wenn man eine reelle Zahl aus durch eine reelle Zahl aus () dividiert?


Aufgabe *

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Aufgabe *

Es sei der Subgraph der Sinusfunktion auf dem Intervall , wobei mit dem zweidimensionalen Borel-Lebesgue-Maß versehen sei. Berechne die beiden folgenden Integrale.

a)

b)


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme zu jedem Punkt das Volumen des Körpers

b) Zeige, dass das (von abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).


Aufgabe

Beweise den Satz von Fubini für eine stetige Funktion

mit Hilfe von Aufgabe 73.7.


Aufgabe

Es sei

eine messbare integrierbare Funktion. Zu einem fixierten Startpunkt betrachten wir (für ) die Abbildung

a) Sei stetig. Zeige

b) Wie ist für beliebige zu definieren?


Aufgabe

Stelle eine Formel für

auf und beweise sie

a) mittels dem Satz von Fubini,

b) mittels Aufgabe 73.9,

c) mittels Aufgabe 73.7.


Aufgabe

Es sei ein Maßraum und es sei

eine nichtnegative messbare Funktion. Zeige, dass die Zuordnung

ein Maß auf ist.


Aufgabe

Welche Dichte besitzt das Borel-Lebesgue-Maß auf dem bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes?


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein Maß auf , das keine Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes besitzt.


Aufgabe

Es sei eine stetige Dichte und das zugehörige Maß. Zeige, dass für jeden Punkte die Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass bei einer Lipschitz-stetigen Abbildung zwischen Räumen unterschiedlicher Dimension das Bild einer Nullmenge keine Nullmenge sein muss. Wo bricht der Beweis zu Lemma 73.5 zusammen?


Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf dem Quadrat . Welche Abschätzung ergibt sich daraus für ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei der Subgraph der Sinusfunktion zwischen und . Berechne die Integrale

a) ,

b) .


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion über dem Rechteck .


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Für welche Quadrate der Kantenlänge wird das Integral

maximal? Welchen Wert besitzt es?


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein -endlicher Maßraum, es sei

eine messbare nichtnegative integrierbare Funktion und sei das Maß zur Dichte . Zeige, dass für jede messbare Funktion

die Beziehung

gilt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien  und zwei -endliche Maßräume, und es seien

und

messbare nichtnegative integrierbare Funktionen mit den zu diesen Dichten gehörigen Maßen und . Zeige, dass auf das Produktmaß mit dem Maß zur Dichte

bezüglich übereinstimmt.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten das Bildmaß zur Abbildung ()

a) Zeige, dass ein -endliches Maß auf ist.

b) Zeige, dass bezüglich die Dichte

besitzt, wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Berechne das Minimum und das Maximum von auf den beiden Quadraten und . Welche Abschätzungen ergeben sich daraus für und für ?


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