Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 79/latex
\setcounter{section}{79}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} von zwei
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
selbst wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M_1 \subseteq N_1} {und} {M_2 \subseteq N_2} {}
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten}{}{.} Zeige, dass ihr
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von
\mathl{N_1 \times N_2}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Karten auf dem
\definitionsverweis {Torus}{}{}
\mathl{S^1 \times S^1}{,} die von den stereographischen Projektionen herrühren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mathl{\R^2 \setminus \{0\}}{}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{}
zu einem Produkt aus eindimensionalen
\definitionsverweis {Mannigfaltigkeiten}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times N}{} von zwei
\definitionsverweis {wegzusammenhängenden}{}{} \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
wieder wegzusammenhängend ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\maabbeledisp {\varphi} {M} {M \times M
} {x} {(x,x)
} {,}
die
\definitionsverweis {Diagonalabbildung}{}{}
in das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M \times M}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{}
$\varphi(M)$ eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {} {M \times M} { M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} ein \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe den Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} als
\definitionsverweis {Rotationsmenge}{}{}
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R>0}{} und betrachte die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} { { \left( \sqrt{x^2+y^2}- R \right) }^2 +z^2
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
der Abbildung und die Gestalt der Faser über
\mathl{s \in \R}{.} Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von
\mathl{\sqrt{s} < R}{} zu
\mathl{\sqrt{s} > R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere die Abbildung
\maabbdisp {} {S^1 \times S^1} { S^2
} {,}
die zu einem Winkelpaar
\mathl{(\alpha, \beta)}{} die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{?}
Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre
\mathl{S^2}{} und der Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} nicht
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu welcher
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
ist
\mathl{S^1 \times S^1 \setminus \triangle}{,} also der Torus ohne die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{,}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Torus}{}{.}
Man gebe eine surjektive
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {X
} {}
derart an, dass auch die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {T_P(\varphi)} { T_P\R^2 } { T_{\varphi(P)}X
} {}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Kreislinie}{}{}
$S^1$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $S^1$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in S^1}{,} eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {S^1} {S^1
} {x} { \alpha (x)
} {,}
und eine differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {} {T = S^1 \times S^1} {S^1
} {(x,y)} { \varphi(x,y)
} {,}
derart, dass $S^1$ mit diesen Daten zu einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }
}
{ \subseteq }{ \R^{n^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {offene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^{n^2}$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $G$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in G}{,} eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {G} {G
} {x} { \alpha (x)
} {,}
und eine differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {G \times G} {G
} {(x,y)} { \varphi(x,y)
} {,}
derart, dass $G$ mit diesen Daten zu einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {S^1 \times \R } {S^1 \times \R } {(x_1 , x_2;t)} {(-x_1 , -x_2; -t) } {,} ein \definitionsverweis {fixpunktfreier}{}{} \definitionsverweis {Diffeomorphismus}{}{} ist, der zu sich selbst invers ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {+} {M \times M} {M
} {}
und einer Abbildung
\maabbdisp {\cdot} {K \times M} {M
} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{}
mit
\mathdisp {\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y) \text{ und } \varphi(s x) = s \varphi(x)} { }
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Zeige die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ \bigwedge^1 V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$m$-\definitionsverweis {dimensionaler
}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ < }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \bigwedge^n V
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{0 < r < R}{} und sei
\mathdisp {T = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} }} { . }
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {S^1 \times S^1} {T
} {( \varphi, \psi) } {( (R +r \cos \psi) \cos \varphi, (R+ r \cos \psi ) \sin \varphi , r \sin \psi )
} {}
eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Torus}{}{}
und seien
\mathl{P,Q \in T}{} zwei Punkte. Zeige, dass es eine gemeinsame Kartenumgebung
\mathl{P,Q \in U \subseteq T}{} derart gibt, dass die Kartenabbildung
\maabbdisp {\alpha} {U} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
mit
\mathl{V= {]0,1[} \times {]0,1[}}{} ergibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathdisp {4 \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 4 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3 \end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix} -3 \\2\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 1 \\3\\ -4 \end{pmatrix}} { }
im
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} als Linearkombination der Dachprodukte
\mathl{e_1 \wedge e_2}{,}
\mathl{e_1 \wedge e_3}{} und
\mathl{e_2 \wedge e_3}{} aus.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Erstelle eine Animation, die Aufgabe 79.9 illustriert.
}
{} {}
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