Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 79

Produkte von Mannigfaltigkeiten

Definition

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit den Atlanten ${}(U_{i},U_{i}',\alpha _{i},i\in I)$ und ${}(V_{j},V_{j}',\beta _{j},j\in J)$. Dann nennt man den Produktraum ${}M\times N$ mit den Karten

$\alpha _{i}\times \beta _{j}\colon U_{i}\times V_{j}\longrightarrow U_{i}'\times V_{j}'$

(mit ${}(i,j)\in I\times J$ und ${}U_{i}'\times V_{j}'\subseteq \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}$) das Produkt der Mannigfaltigkeiten ${}M$ und ${}N$.

Es handelt sich dabei in der Tat um eine Mannigfaltigkeit, siehe Aufgabe 79.1. Eine Produktmannigfaltigkeit der Form ${}M\times \mathbb {R}$ nennt man auch Zylinder über ${}M$. Zu abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{\ell }$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ ist die Produktmannigfaltigkeit ${}M\times N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{\ell }\times \mathbb {R} ^{k}=\mathbb {R} ^{\ell +k}$, siehe Aufgabe 79.2.

Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ${}M\times N$ ihr Produkt. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Projektionen

   $p_{1}\colon M\times N\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x,$

   und

   $p_{2}\colon M\times N\longrightarrow N,\,(x,y)\longmapsto y,$

   sind differenzierbare Abbildungen.

2. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}R=(P,Q)$ ist ${}T_{R}(M\times N)=T_{P}M\times T_{Q}N$.
3. Es sei ${}L$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist eine Abbildung

   $\varphi \times \psi \colon L\longrightarrow M\times N,\,u\longmapsto (\varphi (u),\psi (u)),$

   genau dann differenzierbar, wenn die Komponentenabbildungen ${}\varphi$ und ${}\psi$ differenzierbar sind.

Beweis

(1). Durch Übergang zu Karten können wir annehmen, dass ${}M$ und ${}N$ offene Teilmengen im ${}\mathbb {R} ^{m}$ bzw. im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sind. In diesem Fall handelt es sich um eine Einschränkung der linearen Projektion ${}\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$, die nach Proposition 45.3 stetig differenzierbar ist.
(2). Die differenzierbaren Projektionen ${}p_{1}\colon M\times N\rightarrow M$ und ${}p_{2}\colon M\times N\rightarrow N$ liefern die linearen Tangentialabbildungen ${}T_{R}(p_{1})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{P}M$ und ${}T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\rightarrow T_{Q}N$ und damit insgesamt die lineare Abbildung

$T_{R}(p_{1})\times T_{R}(p_{2})\colon T_{R}(M\times N)\longrightarrow T_{P}M\times T_{Q}N.$

Zum Nachweis der Bijektivität kann man zu Karten übergehen und annehmen, dass ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind. Diese Abbildung wird dann zur Bijektion

$p_{1}\times p_{2}\colon \mathbb {R} ^{m+n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}.$

(3). Für einen fixierten Punkt ${}A\in L$ kann man unter Verwendung von Kartenumgebungen von ${}A$ und von ${}\varphi (A)$ und ${}\psi (A)$ sich darauf zurückziehen, dass alle drei Mannigfaltigkeiten offene Mengen in euklidischen Räumen sind. Wenn beide Abbildungen stetig differenzierbar sind, so folgt nach Aufgabe 45.7 die stetige Differenzierbarkeit der Gesamtabbildung. Die Umkehrung ist klar.

$\Box$

Beispiel

Das Produkt der Kreislinie mit sich selbst, also ${}M=S^{1}\times S^{1}$, heißt Torus. Dies ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit. Da ${}S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ist, lässt sich der Torus als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}$ realisieren. Sie lässt sich aber auch als abgeschlossenene Untermannigfaltigkeit im ${}\mathbb {R} ^{3}$ realisieren. Dazu seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$. Dann ist die Menge

${\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}$

ein Torus. Es handelt sich bei dieser Realisierung um die Oberfläche eines (aufgeblasenen) „Fahrradschlauches“, dessen „Radradius“ gleich ${}R$ und dessen „Schlauchradius“ gleich ${}r$ ist (das Rad liegt in der $x-y$-Ebene). Der Zusammenhang mit dem Produkt ${}S^{1}\times S^{1}$ ergibt sich, indem man dem Produktwinkel ${}(\varphi ,\psi )$ den Punkt ${}((R+r\cos \psi )\cos \varphi ,(R+r\cos \psi )\sin \varphi ,r\sin \psi )$ zuordnet.

Das Dachprodukt

Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen (also Schnitte im Kotangentialbündel) erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden.

Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48 verweisen.

Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und

$\triangle \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

eine Abbildung

in einen weiteren ${}K$-Vektorraum ${}W$. Man nennt ${}\triangle$ multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel

$(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$

die induzierte Abbildung

$V\longrightarrow W,\,u\longmapsto \triangle (v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$

linear ist.

Eine multilineare Abbildung ${}\triangle$ heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$, so ist ${}\triangle (v)=0$.

Das wichtigste Beispiel ist die Determinante (auf ${}V=K^{n}$), die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßthorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel (da keine Standardbasis) in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra.

Konstruktion  

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}n\in \mathbb {N}$. Wir konstruieren das sogenannte ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$ mit sich selbst, geschrieben ${}\bigwedge ^{n}V$. Dazu betrachten wir die Menge ${}S$ aller Symbole der Form

${(v_{1},\ldots ,v_{n})}{\text{ mit }}v_{i}\in V$

und die zugehörige Menge der ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$. Wir betrachten den Vektorraum

${}H=K^{(S)}\,,$

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

$a_{1}e_{s_{1}}+\cdots +a_{k}e_{s_{k}}{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ und }}s_{i}\in S,$

die ${}e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes ${}\operatorname {Abb} \,(S,K)$ (es handelt sich bei ${}H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente ${}s\in S$ den Wert ${}0$ haben). In ${}H$ betrachten wir den Untervektorraum ${}U$, der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

für beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v,w\in V$.

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},av,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-ae_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

für beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n},v\in V$ und ${}a\in K$.

$e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v,v_{j+1},\ldots ,v_{n})}$

für ${}i<j$ und beliebige ${}v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n},v\in V$.

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Relationen zu ${}0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

${}\bigwedge ^{n}V:=H/U\,,$

d.h. man bildet den Restklassenraum von ${}H$ modulo dem Unterraum ${}U$.

Die Elemente ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ bilden dabei ein Erzeugendensystem von ${}H$. Die Restklasse von ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ modulo ${}U$ bezeichnen wir mit

$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}.$

Die Standardrelationen werden dann zu den Rechenregeln

${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge (v+w)\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,+\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\\\,\end{aligned}}$

$v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge av\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=a\cdot v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,$

und

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge v_{i+1}\wedge \ldots \wedge v_{j-1}\wedge v\wedge v_{j+1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=0\,.$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion 79.4 konstruierten) ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ die ${}n$-te äußere Potenz (oder das ${}n$-te Dachprodukt) von ${}V$. Die Abbildung

$V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

nennt man die universelle alternierende Abbildung.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

1. Die Elemente der Form ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$ mit ${}v_{i}\in V$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}\bigwedge ^{n}V$.
2. Die Abbildung

   $V^{n}\longrightarrow \bigwedge ^{n}V,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n},$

   ist multilinear und alternierend.

3. Es ist

   $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge v\wedge w\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}=-v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{i-1}\wedge w\wedge v\wedge v_{i+2}\wedge \ldots \wedge v_{n}\,.$

4. Es seien ${}u_{1},\ldots ,u_{m}\in V$ gegeben und seien

   ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}u_{i}\,$

   für ${}j=1,\ldots ,n$. Dann ist

   ${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,m\}^{n}}{\left(\prod _{j=1}^{n}a_{i_{j}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}.\end{aligned}}$

Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

$V^{n}\longrightarrow H\cong K^{(V^{n})}\longrightarrow H/U$

vor, wobei ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ auf ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ und dies auf die Restklasse ${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}$abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums ${}U$, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.

(3) gilt nach Lemma 16.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Lemma 16.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)) für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel ${}(i_{1},\ldots ,i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist ${}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}=0$ wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form ${}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$ gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich

$\sum _{\pi \in S_{n}}\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{\pi (1)}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{\pi (n)}}=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}u_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge u_{i_{n}}\,$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum der Dimension ${}n$. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Vektoren in ${}V$, die miteinander in der Beziehung

${}{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

stehen, wobei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix bezeichnet.

Dann gilt in ${}\bigwedge ^{n}V$ die Beziehung

${}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}=(\det M)w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n}\,.$

Beweis

Mit ${}M={\left(b_{jk}\right)}$ ist ${}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}b_{jk}w_{k}$ und mit der transponierten Matrix ${}{M^{\text{tr}}}=(a_{ij})$ ist ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}$. Damit sind wir in der Notation von Lemma 79.6  (4) und es gilt

${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq n}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{{\pi (j)}j}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n},\end{aligned}}$

da dann ${}i_{j}=j$ sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.

$\Box$

Fußnoten

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