Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 80

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Aufwärmaufgaben
Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Zeige, dass die Menge aller multilinearen Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, seien und Vektorräume über und . Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Untervektorraum von (wobei der Vektorraum -fach auftritt) ist.


Aufgabe *

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt Dualbasis.

Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Basis . Es sei

der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch

definiert sind, eine Basis von bilden.


Aufgabe

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es seien . Zeige, dass die Abbildung

multilinear und alternierend ist.


Aufgabe

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.


Aufgabe

Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?

Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.


Aufgabe

Man entwickle die Grundzüge einer Theorie der „komplexen Mannigfaltigkeiten“. Was ist die zugrunde liegende reelle Mannigfaltigkeit, was ist die (komplexe/reelle) Dimension, wie sieht der Tangentialraum aus?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

in der Standardbasis von aus.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das zweite Dachprodukt mit der Standardbasis , , und der zugehörigen Dualbasis . Zeige, dass die Funktion

die Eigenschaft besitzt, dass mit dem Flächeninhalt des von und im aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Basis

von und die dadurch induzierte Basis

von . Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis und der Standardbasis .



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