Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 82/latex
\setcounter{section}{82}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Zeige, dass man auf
\mathl{\bigwedge^k T^*M}{} für jedes $k$ eine
\definitionsverweis {Topologie}{}{}
erklären kann, bei der für jede Karte
\maabb {\alpha} {U} {V
} {}
die Abbildung
\maabbdisp {} {\bigwedge^k T^*U} { \bigwedge^k T^*V \cong V \times \bigwedge^k \R^{n*}
} {}
eine
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
ist.
}
{} {}
Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$C^2$-\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Zeige, dass
\mathl{\bigwedge^k T^*M}{} für jedes $k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
Damit kann man auch von stetig differenzierbaren Differentialformen sprechen. Allgemeiner gilt: Wenn $M$ eine
$C^m$-\definitionsverweis {Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mathl{\ell < m}{} ist, so bezeichnet man mit
\mathl{{ \mathcal E }^{ k }_{\ell } ( U )}{} die Menge der $\ell$-fach stetig differenzierbaren $k$-Differentialformen.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
und
\mathl{{ \mathcal E }^{ k } ( M )}{} die Menge der
$k$-\definitionsverweis {Formen}{}{}
auf $M$. Zeige, dass ${ \mathcal E }^{ k } ( M )$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ C^0(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ C^1(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ T_PM
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Tangentialvektor}{}{,}
der durch einen differenzierbaren Weg
\maabbdisp {\gamma} {{]{-\delta},\delta [}} {M
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(0)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(df)(P,v)
}
{ =} { (f \circ \gamma)'(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{i: M\subseteq \R^n}{} eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{.}
Zeige, dass für eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R^n} {\R
} {}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i^* (df)
}
{ =} { d(f \circ i )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {t} {f(t)
} {,}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\omega
}
{ = }{ g(s)ds
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
auf $\R$. Bestimme
\mathl{f^* \omega}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {(x,y,z)} {(xyz^2,xy-z^3)
} {.}
Berechne die Matrix der Abbildung
\maabbdisp {\bigwedge^2 T_P (\varphi)} { \bigwedge^2 T_P \R^3 } { \bigwedge^2 T_{\varphi(P)} \R^2
} {}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (1,3,5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich einer geeigneten Basis.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}
} {(u,v)} {(u^2,v^3-u)
} {,}
und die
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } dx \wedge dy
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\varphi^* \omega}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
$1$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ =} {-vdu+udv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf der
$1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ \subset }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die Koordinaten des umgebenden $\R^2$ mit
\mathkor {} {u} {und} {v} {}
bezeichnet seien. Bestimme
\mathl{\pi^* \omega}{} unter der
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren}{}{}
Abbildung
\maabbeledisp {\pi} {\R^2 \setminus \{0\}} { S^{1}
} {(x , y) } { { \frac{ 1 }{ \sqrt{x^2 + y^2} } } (x , y)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \tau}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau
}
{ =} { dx \wedge dy \wedge dz - w dx \wedge dy \wedge dw + \cos (xy) dx \wedge dz \wedge dw-yw dy \wedge dz \wedge dw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter der Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^4
} {(r,s,t)} { (r^2s,t, \sin r ,e^{st}) = (x,y,z,w)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\psi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{,}
es sei
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
eine Funktion auf $M$ und $\omega$ eine
$k$-\definitionsverweis {Form}{}{}
auf $M$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi^*(f \omega)
}
{ =} { \psi^*(f) \psi^* \omega
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmengen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\psi} {W} {U
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {f} {U} {\R
} {}
eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der
Kettenregel,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d (\psi^*f)
}
{ =} { \psi^*(df)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, wobei $\psi^*$ das
\definitionsverweis {Zurückziehen von Differentialformen}{}{}
bezeichnet.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Kotangentialbündel}{}{}
\mathl{T^*M}{.} Es sei $\omega$ eine
$k$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{,} also eine Abbildung
\maabbdisp {\omega} {M} {\bigwedge^k T^*M
} {}
mit
\mathl{\omega(P) \in \bigwedge^k T^*_P M}{} für alle
\mathl{P \in M}{,} wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 82.1} {} {} versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$\omega$ ist
\definitionsverweis {
stetig}{}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {Karte}{}{}
\maabb {\alpha} {U} {V
} {}
mit
\mathl{V \subseteq \R^n}{} und mit der lokalen Darstellung
\mathl{\alpha_* \omega = \sum_{J,\, { \# \left( J \right) } =k} f_J dx_J}{} sind die Funktionen $f_J$ stetig.
}{Es gibt eine offene Überdeckung
\mathl{M= \bigcup_{i \in I} U_i}{} mit
\definitionsverweis {Kartengebieten}{}{} $U_i$ derart, dass in den lokalen Darstellungen
\mathl{\alpha_{i*} \omega = \sum_{J,\, { \# \left( J \right) } =k} f_{i J} dx_J}{} die Funktionen $f_{i J}$ stetig sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
zwischen zwei
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeiten}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {.}
Es seien
\mathkor {} {\omega \in
{ \mathcal E }^{ k } ( M )} {und} {\tau \in
{ \mathcal E }^{ \ell } ( M )} {}
\definitionsverweis {Differentialformen}{}{} auf $M$. Zeige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^* ( \omega \wedge \tau)
}
{ =} {\varphi^* \omega \wedge \varphi^* \tau
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3 \setminus \{(0,0,0)\}} {N = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid z \neq 0 \right\} }
} {(u,v,w)} {(uvw,u^2-vw^5,u^2+v^2+w^2)
} {,}
und die
$2$-\definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mathdisp {\omega = z^2dx \wedge dy+{ \frac{ xy }{ z } }dx \wedge dz+(xe^y-z)dy \wedge dz} { }
auf $N$. Bestimme die
\definitionsverweis {zurückgezogene Differentialform}{}{}
\mathl{\varphi^* \omega}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Einheitssphäre}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei die Koordinaten des $\R^3$ mit $x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ S^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bilden die Einschränkungen von
\mathkor {} {dx} {und} {dy} {}
auf $S^2$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
\definitionsverweis {Kotangentialraums}{}{}
\mathl{T^*_PS^2}{.}
}
{} {}
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