Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 81

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Aufwärmaufgaben
DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg

Aufgabe

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis . Zeige, dass wenn man einen Vektor durch sein Negatives ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.


Aufgabe

Es seien und zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf repräsentierende Basis gibt, deren Bildvektoren die Orientierung auf repräsentieren.


Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe *

Wir betrachten im die drei Vektoren

a) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des repräsentieren?

b) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?


Aufgabe

Es seien und orientierte Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass das Produkt eine orientierte Mannigfaltigkeit ist (wobei die Orientierung von der Ordnung auf abhängt).


Aufgabe

Zeige, dass die -Sphäre eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Es seien und orientierte Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Diese heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt die Tangentialabbildung

bijektiv und orientierungstreu ist.


Aufgabe

Zeige, dass die antipodale Abbildung

orientierungstreu ist.


Aufgabe

Es sei eine orientierte Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

bezüglich der jeweiligen Produktorientierungen nicht orientierungstreu sein muss.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass kompakt ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung kompakt ist.


Aufgabe

Es sei ein kompakter Raum und es sei eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ebenfalls kompakt ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von homöomorph zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen Intervall oder zu ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von homöomorph zu einem abgeschlossenen Intervall ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen nicht überdeckungskompakt ist.


Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.


Aufgabe

Es sei ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass vollständig ist.


Aufgabe *

Zeige, dass die Menge

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe *

Es sei eine kompakte topologische -dimensionale Mannigfaltigkeit, . Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge und eine stetige surjektive Abbildung

gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf , aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die -Sphäre eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Antipodenabbildung

nicht orientierungstreu ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und topologische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei kompakt. Zeige, dass das Bild ebenfalls kompakt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und sei das Produkt mit der Produkttopologie versehen. Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige Abbildung

mit der Eigenschaft, dass
für jedes eine

Basis von ist. Zeige, dass sämtliche Basen , , die gleiche Orientierung auf repräsentieren.



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