Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesung 82

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Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten

Zu einer Mannigfaltigkeit kann man zum Tangentialbündel (bzw. zum Kotangentialbündel ) das -te Dachprodukt (bzw. ) bilden. Es ist punktweise für durch

definiert und es gibt wieder eine Projektionsabbildung

Zu einer Karte

, und der zugehörigen Identifizierung

ergibt sich die Identifizierung

Mit Hilfe dieser Abbildungen kann man auf eine Topologie und auch eine Mannigfaltigkeitsstruktur definieren.


Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine -Differentialform (oder -Form oder Form vom Grad ) ist ein Schnitt im -fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels, also eine Abbildung

mit .

Wir bezeichnen die Menge der -Formen auf mit

Bemerkung  

Eine -Form ordnet also jedem Punkt der Mannigfaltigkeit ein Element aus zu. Dies ist nach Korollar 80.2 und Satz 80.5 das gleiche wie eine alternierende multilineare Abbildung

Diese zugehörige Abbildung bezeichnen wir ebenfalls mit ; für Tangentialvektoren ist also

eine reelle Zahl. Dabei treten zwei grundverschiedene Argumente auf, einerseits der Punkt der Mannigfaltigkeit und andererseits Elemente aus dem Tangentialraum an diesem Punkt. Die Abhängigkeit von den Tangentialvektoren ist verhältnismäßig einfach, da es sich ja um eine alternierende multilineare Abbildung handelt, dagegen ist die Abhängigkeit von der Mannigfaltigkeit beliebig kompliziert. Da die Dachprodukte des Kotangentialbündels nach Aufgabe 82.2 selbst Mannigfaltigkeiten sind, kann man sofort von stetigen oder (wenn eine -Mannigfaltigkeit ist) differenzierbaren Differentialformen sprechen.

Für kommt der Kotangentialraum nur formal vor, eine -Form ist nichts anderes als eine Funktion . Eine -Form (man spricht auch von einer Pfaffschen Form) ordnet jedem Punkt und jedem Tangentialvektor an eine reelle Zahl zu. Für ist das -fache Dachprodukt der Nullraum und daher gibt es gar keine nichttrivialen Formen von diesem Grad. Besonders wichtig ist der Fall . Dann besitzt das -te Dachprodukt den Rang (d. h. die Dimension ist in jedem Punkt ) und ein Schnitt darin wird lokal durch eine einzige Funktion beschrieben. Eine empfehlenswerte Vorstellung ist dabei, dass zu Tangentialvektoren die Zahl das („orientierte“) Volumen des durch die Vektoren im Tangentialraum aufgespannten Paralleltops angibt. Diese Vorstellung ist auch bei kleineren hilfreich, mit den kann man das -dimensionale Volumen des durch Tangentialvektoren erzeugten Parallelotops berechnen. Diese Vorstellung wird präzisiert, wenn man über eine -dimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit integriert.




Lemma  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und zu sei die Menge der -Formen auf . Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die bilden mit den natürlichen Operationen versehen reelle Vektorräume.
  2. Zu einer Differentialform und einer Funktion

    ist auch , wobei durch

    definiert ist.

  3. Jede -differenzierbare Funktion

    definiert über die Tangentialabbildung eine -Differentialform

    wobei der Tangentialraum von in mit identifiziert wird. Dies ergibt eine Abbildung

  4. Wenn eine offene Teilmenge ist, so ist bei der Identifizierung die Abbildung aus (3) gleich
  5. Die Abbildung aus (3) ist -linear.

Beweis  

(1) und (2) folgen unmittelbar aus einer punktweisen Betrachtung.
(3). Für jeden Punkt ist

eine nach Lemma 77.10  (3) lineare Abbildung und somit ein Element in , das wir mit bezeichnen. Die Zuordnung ist daher eine Differentialform.
(4) folgt aus Lemma 77.10  (1).
(5). Die Abbildung in (3) ist für jeden Punkt auf jeder offenen Umgebung festgelegt. Wir können daher annehmen, dass eine offene Menge ist, so dass die Aussage aus (4) und Fakt ***** folgt.


Zu einer offenen Menge hat man die Koordinatenfunktionen

zur Verfügung, die sich bei einer gegebenen Karte auf eine offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit übertragen. In jedem Punkt bilden die , , eine Basis des Kotangentialraumes an . Dies ist einfach die Dualbasis

der Standardbasis im umgebenden Raum , den man auf ganz als Tangentialraum nimmt. Zu einer -elementigen Teilmenge

setzt man

dies ist eine besonders einfache -Form auf . Für jeden Punkt ist

Die Wirkungsweise von dieser Form auf ist gegeben durch

Gemäß Satz 80.3 bilden die Auswertungen der Differentialformen (mit )

für jeden Punkt eine Basis von , und daher lässt sich jede auf definierte -Differentialform eindeutig als

schreiben mit eindeutig bestimmten Funktionen



Lemma  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte

und offen. Es seien

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, .

Dann lässt sich jede auf definierte -Differentialform eindeutig schreiben als

mit eindeutig bestimmten Funktionen

Beweis  

Dies folgt aus Satz 80.3.




Korollar  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte

und offen. Es seien

die zugehörigen Koordinatenfunktionen, . Es sei

eine differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die zugehörige -Differentialform die Darstellung[1]

Beweis  

Wir können sofort annehmen, dass sich alles auf der offenen Menge abspielt. Für jeden Punkt gilt die folgende Gleichheit von Linearformen auf dem ,



Das Zurückziehen von Differentialformen

Definition  

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine -Differentialform auf . Dann nennt man die -Form auf , die der durch

gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit zurückgezogene -Form. Sie wird mit

bezeichnet.



Lemma  

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Dann erfüllt das Zurückziehen von Differentialformen folgende Eigenschaften.

  1. Für eine Funktion ist .
  2. Die Abbildungen

    sind -linear.

  3. Wenn eine offene Untermannigfaltigkeit ist, so ist das Zurückziehen einer Differentialform einfach die Einschränkung auf diese Teilmenge.
  4. Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und

    eine weitere differenzierbare Abbildung. Dann gilt

    für jede Differentialform .

Beweis  

(1) folgt unmittelbar aus der Definition 82.6.
(2). Wir müssen für Differentialformen und und Skalare zeigen, dass gilt. Eine solche Gleichheit von Differentialformen bedeutet, dass die Gleichheit in jedem Punkt und für jedes -Tupel von Tangentialvektoren gilt. Daher folgt die Behauptung aus


(3) folgt unmittelbar aus der Definition.
(4). Es sei , und eine -Form auf . Dann gilt unter Verwendung von Lemma 77.10  (4)

und dies ist die Behauptung.




Lemma  

Es seien und offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei

eine differenzierbare Abbildung und es sei eine -Differentialform auf mit der Darstellung

wobei Funktionen sind.

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

Beweis  

Die zweite Gleichung beruht auf einer einfachen Umordnung. Aufgrund von Lemma 82.7 (2) kann man sich auf den Fall beschränken. Wir setzen und dürfen annehmen. Wir zeigen die Gleichheit der beiden -Formen auf , indem wir zeigen, dass sie für jeden Punkt und jedes Dachprodukt mit den gleichen Wert liefern. Es ist einerseits

Wenn man andererseits die Summe auf anwendet, so ist außer bei , wo sich der Wert ergibt, so dass sich also der gleiche Wert ergibt.




Korollar  

Es seien offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei

eine differenzierbare Abbildung und es sei eine -Differentialform auf mit der Darstellung

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Lemma 82.8.

Die beschreibenden Funktionen zu einer Differentialform haben also das gleiche Transformationsverhalten wie die Dichten, die auf einer Karte ein kontinuierliches Maß auf einer Mannigfaltigkeit beschreiben.



Korollar  

Es seien und offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei

eine differenzierbare Abbildung mit konstant für ein und es sei eine -Differentialform auf mit der Darstellung

mit .

Dann ist .

Beweis  

Nach Lemma 82.8 gilt

Da ist für alle , ist für jedes eine Zeile der Matrix , so dass die Determinanten stets sind.




Fußnoten
  1. Die Ableitungen wurden in der Vorlesung 76 eingeführt.


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