Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 82

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel . Zeige, dass man auf für jedes eine Topologie erklären kann, bei der für jede Karte die Abbildung

eine Homöomorphie ist.

Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.

Aufgabe

Es sei eine -differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel . Zeige, dass für jedes eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Damit kann man auch von stetig differenzierbaren Differentialformen sprechen. Allgemeiner gilt: Wenn eine -Mannigfaltigkeit und ist, so bezeichnet man mit die Menge der -fach stetig differenzierbaren -Differentialformen.

Aufgabe

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und die Menge der -Formen auf . Zeige, dass ein -Modul zu ist.


Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ein Punkt und eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei ein Tangentialvektor, der durch einen differenzierbaren Weg

mit repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit


Aufgabe

Es sei eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeige, dass für eine differenzierbare Funktion

die Beziehung
gilt.


Aufgabe

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion und es sei eine -Differentialform auf . Bestimme .


Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

Berechne die Matrix der Abbildung

im Punkt bezüglich einer geeigneten Basis.


Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

und die -Differentialform

Bestimme die zurückgezogene Differentialform .


Aufgabe *

Wir betrachten die -Differentialform

auf der -Sphäre , wobei die Koordinaten des umgebenden mit und bezeichnet seien. Bestimme unter der stetig differenzierbaren Abbildung


Aufgabe *

Berechne die zurückgezogene Differentialform zu

unter der Abbildung


Aufgabe *

Es sei

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

eine Funktion auf und eine -Form auf . Zeige


Aufgabe *

Es seien und offene Teilmengen und sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

gilt, wobei das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel . Es sei eine -Differentialform, also eine Abbildung

mit für alle , wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie

(siehe Aufgabe 82.1) versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist stetig.
  2. Für jede Karte mit und mit der lokalen Darstellung sind die Funktionen stetig.
  3. Es gibt eine offene Überdeckung mit Kartengebieten derart, dass in den lokalen Darstellungen die Funktionen stetig sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und . Es seien und Differentialformen auf . Zeige die Gleichung


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

und die -Differentialform

auf . Bestimme die zurückgezogene Differentialform .


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Einheitskugel , wobei die Koordinaten des mit bezeichnet seien. Für welche Punkte bilden die Einschränkungen von und auf eine Basis des Kotangentialraums .



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