Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 83/latex

\setcounter{section}{83}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer stetigen positiven Volumenform $\omega$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_M \omega }
{ <} { \infty }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das zu einer \definitionsverweis {stetigen}{}{} \definitionsverweis {positiven Volumenform}{}{} auf einer \definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{} in Definition 83.3 eingeführte Volumenmaß ein $\sigma$-\definitionsverweis {endliches Maß}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} {dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n }
{ =} { e_1^* \wedge \ldots \wedge e_n^* }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Standard-Volumenform auf dem $\R^n$. Zeige, dass für jede \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mathl{T \subseteq \R^n}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } \omega }
{ =} { \int_{ T } \, d \lambda^n }
{ =} { \lambda^n(T) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einer \definitionsverweis {positiven Volumenform}{}{} $\omega$. Es sei
\mathl{T \subseteq M}{} \definitionsverweis {messbar}{}{} und
\mathl{N \subseteq M}{} eine \definitionsverweis {Nullmenge}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } \omega }
{ =} { \int_{ T \setminus N } \omega }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit einer \definitionsverweis {abzählbaren Basis der Topologie}{}{} und es seien \mathkor {} {\omega_1} {und} {\omega_2} {} \definitionsverweis {positive Volumenformen}{}{} auf $M$. Zeige, dass für jede \definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
\mathl{T \subseteq M}{} und
\mathl{a,b \in \R_+}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ T } (a \omega_1 + b \omega_2) }
{ =} {a \int_{ T } \omega_1+ b \int_{ T } \omega_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{.} Zeige, wie man unter Bezug auf Karten \anfuehrung{Nullmengen}{} von $M$ erklären kann, ohne dass ein \definitionsverweis {Maß}{}{} gegeben ist. Zeige ferner, dass wenn eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} gegeben ist, diese Nullmengen auch \definitionsverweis {Nullmengen}{}{} im Sinne der Maßtheorie sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den Einheitskreis
\mathl{S^1 \subset \R^2}{} als Faser einer Abbildung \maabbdisp {} {\R^2} {\R } {} derart, dass die gemäß Korollar 83.6 gegebene Volumenform $\omega$ positiv ist. Berechne
\mathl{\int_{S^1} \omega}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Einheitssphäre
\mathl{S^2 \subset \R^3}{} als Faser einer Abbildung \maabbdisp {} {\R^3} {\R } {} derart, dass die gemäß Korollar 83.6 gegebene Volumenform $\omega$ positiv ist. Berechne
\mathl{\int_{S^2} \omega}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeiten}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ \in }{ { \mathcal E }^{ 1 } ( M ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine messbare Differentialform mit der \definitionsverweis {zurückgezogenen Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*\omega }
{ \in }{ { \mathcal E }^{ 1 } ( L ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei \maabbdisp {\gamma} {I} {L } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \zusatzklammer {$I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}} {} {.} Zeige, dass für die \definitionsverweis {Wegintegrale}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma \varphi^* \omega }
{ =} { \int_{\varphi \circ \gamma} \omega }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^2 } {t} {( \cos t , \sin t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zu den folgenden \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}

a)
\mathl{xdx +ydy}{,}

b)
\mathl{xdx -ydy}{,}

c)
\mathl{ydx +xdy}{,}

d)
\mathl{ydx -xdy}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das Wegintegral
\mathl{\int_\gamma \omega}{} zu \maabbeledisp {\gamma} {[-1,0]} {\R^3 } {t} {(-t^2,t^3-1,t+2) } {,} für die $1$-Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { x^3dx -yzdy +xz^2 dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen \maabbeledisp {\gamma} {[1,2]} {\R^2 } {t} {(t,t^{-1}) } {,} und \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^3 } {(u,v)} {(u^2,uv,-u+v^2) } {,} und die Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { xdx-zdy+dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} auf dem $\R^2$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} zum Weg $\gamma$.

c) Berechne \zusatzklammer {ohne Bezug auf b)} {} {} das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\omega}{} zum Weg $\varphi \circ \gamma$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die differenzierbaren Abbildungen \maabbeledisp {\gamma} {[1,c]} {\R^2 } {t} {(t,t^{3}) } {,} \zusatzklammer {mit \mathlk{c \geq 1}{}} {} {} und \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R_+ } {\R^3 } {(u,v)} {(u^3,u^2+v^2,u^{-1}v^{-1} ) } {,} und die Differentialform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \omega }
{ =} { (x-y)dx-z^2dy+dz }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf dem $\R^3$.

a) Berechne die zurückgezogene Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} auf dem $\R_+ \times \R_+$.

b) Berechne das Wegintegral zur Differentialform
\mathl{\varphi^* \omega}{} zum Weg $\gamma$ in Abhängigkeit von $c$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $M$ eine $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} mit \definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{.} Es sei $\omega$ eine \definitionsverweis {positive Volumenform}{}{} auf $M$ und es sei $\mu$ das durch diese Volumenform definierte \definitionsverweis {Maß}{}{} auf $M$. Zeige, dass dann jede \definitionsverweis {abgeschlossene Untermannigfaltigkeit}{}{} der Dimension
\mathl{\leq n-1}{} eine \definitionsverweis {Nullmenge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c,d,r,s }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{} \maabbeledisp {} {[0,1]} {\R^2 } {t} {(t^r,t^s) } {.} Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zur \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ x^ay^b dx +x^c y^d dy }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei \maabbeledisp {\gamma} {[0,2\pi]} {\R^3 } {t} {( \cos t , \sin t, t ) } {,} gegeben. Berechne das \definitionsverweis {Wegintegral}{}{} längs dieses Weges zur \definitionsverweis {Differentialform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ (y-z^3) dx +x^2dy -xzdz }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}