Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 84

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge $V\subseteq {ℝ}^n$ als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was ist die kanonische Volumenform auf $V$?

Aufgabe

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Abbildung

$𝒱(M)⟶{ℰ}^1(M),F⟼{\omega }_F,$

mit

$({\omega }_F(P))(v):={⟨F(P),v⟩}_P,$

linear ist.

Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge $V\subseteq {ℝ}^n$ als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was besagt die in Lemma 84.3 beschriebene Korrespondenz zwischen Vektorfeldern und $1$-Differentialformen in dieser Situation?

Aufgabe

Begründe Bemerkung 84.4.

Aufgabe

Es sei $M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die kanonische Volumenform $\omega$ dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert $1$ besitzt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $n$-dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und $\lambda$ ein translationsinvariantes Maß auf $V$. Zeige, dass die Zuordnung

$V\times \cdots \times V⟶ℝ,(v_1,\dots ,v_n)⟼\pm \lambda (P(v_1,\dots ,v_n)),$

wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.

Aufgabe

Zeige, dass bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit die Kartenabbildungen

$\alpha :U⟶V$

im Allgemeinen keine Isometrie

$T_P(\alpha ):T_{P}U⟶T_{\alpha (P)}V$

induzieren (wenn $T_{P}U$ mit ${⟨-,-⟩}_P$ und $T_{\alpha (P)}V={ℝ}^n$ mit dem Standardskalarprodukt versehen ist).

Aufgabe *

Wir betrachten den Graph $M$ der Abbildung

$\phi :{ℝ}^2⟶ℝ,(u,v)⟼u^2+uv-v^3,$

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${ℝ}^3$, also

$M=\{(u,v,u^2+uv-v^3)\mid (u,v)\in {ℝ}^2\}$

mit der vom ${ℝ}^3$ induzierten riemannschen Metrik. Es sei

$\psi :{ℝ}^2⟶M,(u,v)⟼(u,v,u^2+uv-v^3),$

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu $\psi$ sowie die Bildvektoren $T_P(\psi )(e_1)$ und $T_P(\psi )(e_2)$ in $T_{\psi (P)}M$.

b) Bestimme für jeden Punkt der Form  $P=(u,0)$  den Flächeninhalt des von $T_P(\psi )(e_1)$ und $T_P(\psi )(e_2)$ in $T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form  $P=(0,v)$  den Flächeninhalt des von $T_P(\psi )(e_1)$ und $T_P(\psi )(e_2)$ in $T_{\psi (P)}M$ aufgespannten Parallelogramms.

Aufgabe

Es sei

$\phi :{ℝ}^n⟶ℝ$

(mit $m=n-1\ge 0$) eine stetig differenzierbare Funktion, die in jedem Punkt der Faser $M$ über $0\in ℝ$ regulär sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus Korollar 83.6 und der kanonischen Volumenform $\omega$ die Beziehung

$\tau (P,v_1,\dots ,v_m)=\pm \Vert \mathrm{Grad}\phi (P)\Vert \omega (P,v_1,\dots ,v_m)$

besteht.

Aufgabe

Es sei

$\phi :{ℝ}^n⟶{ℝ}^{\ell }$

(mit $m=n-\ell \ge 0$) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser $M$ über $0\in {ℝ}^{\ell }$ regulär sei. Wir fassen $M$ als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten

$\mathrm{Grad}{\phi }_1(P),\dots ,\mathrm{Grad}{\phi }_{\ell }(P)$

für jeden Punkt von $P\in M$ senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform $\tau$ aus Korollar 83.6 und der kanonischen Volumenform $\omega$ die Beziehung

$\tau (P,v_1,\dots ,v_m)=\pm \Vert \mathrm{Grad}{\phi }_1(P)\Vert \cdots \Vert \mathrm{Grad}{\phi }_{\ell }(P)\Vert \omega (P,v_1,\dots ,v_m)$

besteht.

Aufgabe

Zeige, dass die kanonische Flächenform auf der Einheitssphäre  $S^2\subset {ℝ}^3$  gleich

$xdy\wedge dz-ydx\wedge dz+zdx\wedge dy$

ist, wobei $x,y,z$ die Koordinaten des ${ℝ}^3$ seien.

Aufgaben zum Abgeben

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ definiert man zu einem Tangentialvektor $v\in T_{P}M$ die Norm durch $\Vert v\Vert =\sqrt{{⟨v,v⟩}_P}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Zuordnung

$TM⟶ℝ,v⟼\Vert v\Vert ,$

stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass $ℝ\times {ℝ}_{+}$ mit der durch die Hesse-Form zur Funktion

$f:ℝ\times {ℝ}_{+}⟶ℝ,(x,y)⟼x^2+y^4,$

gegebenen Bilinearform eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jeden Punkt  $P=(x,y,z)$  der Einheitssphäre $S^2$ eine Orthonormalbasis in  $T_P{S}^2\subset {ℝ}^3$  an (bezüglich der induzierten riemannschen Struktur).

Aufgabe (6 Punkte)

Im ${ℝ}^3$ sei das Ellipsoid

$E=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+3z^2\le 5\}$

und die Ebene

$M=\{(x,y,z)\mid 7x-3y-2z=2\}$

gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts $M\cap E$.

Aufgabe (6 Punkte)

Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung 84.4 beschriebene Situation anhand einer Fläche im ${ℝ}^3$ veranschaulicht.