Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 84

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was ist die kanonische Volumenform auf ?


Aufgabe

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Abbildung

mit

linear ist.


Aufgabe

Wir betrachten eine offene Menge als riemannsche Mannigfaltigkeit. Was besagt die in Lemma 84.3 beschriebene Korrespondenz zwischen Vektorfeldern und -Differentialformen in dieser Situation?


Aufgabe

Begründe Bemerkung 84.4.


Aufgabe

Es sei eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die kanonische Volumenform dadurch festgelegt ist, dass sie in jedem Punkt für eine die Orientierung repräsentierende Orthonormalbasis den Wert besitzt.


Aufgabe

Es sei ein -dimensionaler reeller orientierter Vektorraum und ein translationsinvariantes Maß auf . Zeige, dass die Zuordnung

wobei das Vorzeichen positiv zu wählen ist, wenn die Vektoren die Orientierung repräsentieren, eine alternierende multilineare Abbildung ist.


Aufgabe

Zeige, dass bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit die Kartenabbildungen

im Allgemeinen keine Isometrie

induzieren (wenn mit und mit dem Standardskalarprodukt versehen ist).


Aufgabe *

Wir betrachten den Graph der Abbildung

als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des , also

mit der vom induzierten riemannschen Metrik. Es sei

die zugehörige Diffeomorphie.

a) Bestimme das totale Differential zu sowie die Bildvektoren und in .

b) Bestimme für jeden Punkt der Form den Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms.

c) Bestimme für jeden Punkt der Form den Flächeninhalt des von und in aufgespannten Parallelogramms.


Aufgabe

Es sei

(mit ) eine stetig differenzierbare Funktion, die in jedem Punkt der Faser über regulär sei. Wir fassen als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Zeige, dass zwischen der Volumenform aus Korollar 83.6 und der kanonischen Volumenform die Beziehung

besteht.


Aufgabe

Es sei

(mit ) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser über regulär sei. Wir fassen als eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit auf. Es sei vorausgesetzt, dass die Gradienten

für jeden Punkt von senkrecht aufeinander stehen. Zeige, dass zwischen der Volumenform aus Korollar 83.6 und der kanonischen Volumenform die Beziehung

besteht.


Aufgabe

Zeige, dass die kanonische Flächenform auf der Einheitssphäre gleich

ist, wobei die Koordinaten des seien.




Aufgaben zum Abgeben

Bei einer riemannschen Mannigfaltigkeit definiert man zu einem Tangentialvektor die Norm durch .

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Zuordnung

stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass mit der durch die Hesse-Form zur Funktion

gegebenen Bilinearform eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jeden Punkt der Einheitssphäre eine Orthonormalbasis in an (bezüglich der induzierten riemannschen Struktur).


Aufgabe (6 Punkte)

Im sei das Ellipsoid

und die Ebene
gegeben. Berechne den Flächeninhalt des Durchschnitts .


Aufgabe (6 Punkte)

Man erstelle eine Computergraphik, die die in Bemerkung 84.4 beschriebene Situation anhand einer Fläche im veranschaulicht.



<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)