Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition

Volumenmaß zu positiver Form

Es sei $M$ eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei $\omega$ eine positive Volumenform auf $M$. Dann heißt die für jede Borel-Menge  $T\subseteq M$  durch eine abzählbare Zerlegung  $T=\underset{i\in I}{⨄}{T}_i$  (wobei $T_i\subseteq U_i$ ein offenes Kartengebiet und ${\alpha }_{i\ast }\omega =f_{i}d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n$ ist) definierte Zahl

${\int }_T\omega =\sum _{i\in I}{\int }_{{\alpha }_i(T_i)}{f}_{i}d{\lambda }^n$

(aus ${\overline{ℝ}}_{\ge 0}$) das Maß von $T$ zu $\omega$ oder das Integral von $\omega$ über $T$.