Mannigfaltigkeit/Abzählbar/Positive Volumenform/Zugehöriges Maß/Definition

Volumenmaß zu positiver Form

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie und es sei ${}\omega$ eine positive Volumenform auf ${}M$. Dann heißt die für jede Borelmenge ${}T\subseteq M$ durch eine abzählbare Zerlegung ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$ (wobei ${}T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und ${}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist) definierte Zahl

${}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$

(aus ${}{\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$) das Maß von ${}T$ zu ${}\omega$ oder das Integral von ${}\omega$ über ${}T$.