Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Definitionsabfrage

Definition:Reelles Vektorbündel

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}r\in \mathbb {N}$. Ein reelles Vektorbündel ${}V$ vom Rang ${}r$ ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung ${}p\colon V\rightarrow X$ derart, dass jede Faser ${}p^{-1}(x)$ ein ${}r$- dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Homöomorphismen

$\varphi _{i}\colon p^{-1}{\left(U_{i}\right)}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{r}$

über ${}U_{i}$ gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

${\left(\varphi _{i}\right)}_{x}\colon p^{-1}(x)\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}$

induzieren.

Definition:Homomorphismus von reellen Vektorbündeln

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ ist eine stetige Abbildung über ${}X$ derart, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ die induzierte Abbildung

$\varphi _{x}\colon E_{x}\longrightarrow F_{x}$

${}\mathbb {R}$- linear ist.

Definition:Isomorphismus von reellen Vektorbündeln

Es seien ${}E$ und ${}F$ reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon E\rightarrow F$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus ${}\psi \colon F\rightarrow E$ gibt, der verknüpft mit ${}\varphi$ (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.

Definition:Tangentialbündel

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$

versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P,$

das Tangentialbündel von ${}M$.

Definition:Tangentialabbildung

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es seien ${}TM$ und ${}TN$ die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung

$T(\varphi )\colon TM\longrightarrow TN$

die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also

${}T(\varphi )=\biguplus _{P\in M}T_{P}(\varphi )\,.$

Definition:Tangentialbündel (mit Topologie)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und

${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,$

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

$\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P.$

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge ${}W\subseteq TM$ genau dann offen ist, wenn für jede Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

die Menge ${}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

Definition:Stetiger Schnitt

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$p\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu ${}p$ versteht man eine stetige Abbildung ${}s\colon X\rightarrow Y$ mit

${}p\circ s=\operatorname {Id} _{X}\,.$

Definition:Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

$F\colon M\longrightarrow TM$

mit der Eigenschaft, dass ${}F(P)\in T_{P}M$ für jeden Punkt ${}P\in M$ ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.

Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für topologische Räume versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine Familie ${}U_{i}$, ${}i\in I$, von topologischen Räumen.
2. Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$).
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Homöomorphismus

   $\varphi _{ji}\colon U_{ij}\longrightarrow U_{ji}$

   (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{U_{i}}$).

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Abbildung von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Definition:Verklebungsdatum (Vektorbündel)

Unter einem Verklebungsdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang ${}r$ über einem topologischen Raum ${}X$ versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine offene Überdeckung

   ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

2. Eine Familie ${}E_{i}\rightarrow U_{i}$, ${}i\in I$, von reellen Vektorbündeln vom Rang ${}r$.
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus von Vektorbündeln

   $\varphi _{ji}\colon E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow E_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

   über ${}U_{i}\cap U_{j}$.

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Abbildung von ${}E_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ nach ${}E_{k}{|}_{U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ erfüllt.

Definition:Direkte Summe von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und

$\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}(x,v,w):=\left(x,\,\alpha _{j}(\alpha _{i}^{-1}(x,v)),\,\beta _{j}(\beta _{i}^{-1}(x,w))\right)\,$

die direkte Summe der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$. Es wird mit ${}E\oplus F$ bezeichnet.

Definition:Tensorprodukt von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und

$\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times {\left(\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}\right)}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}:={\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\otimes {\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\,$

(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$. Es wird mit ${}E\otimes F$ bezeichnet.

Definition:Äußeres Produkt eines Vektorbündels

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ vom Rang ${}m$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und ${}r\in \mathbb {N}$ nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times {\left(\bigwedge ^{r}\mathbb {R} ^{m}\right)}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}:=\bigwedge ^{r}{\left(\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\right)}\,$

(dabei wird für jeden Basispunkt das ${}r$-te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das ${}r$-te äußere Produkt des Vektorbündels ${}E$. Es wird mit ${}\bigwedge ^{r}E$ bezeichnet.

Definition:Determinantenbündel

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ vom Rang ${}m$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man das ${}m$-te äußere Produkt ${}\bigwedge ^{m}E$ das Determinantenbündel von ${}E$. Es wird mit ${}\det E$ bezeichnet.

Definition:Homomorphismenbündel von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln ${}E$ und ${}F$ auf einem topologischen Raum ${}X$ mit Trivialisierungen

$\alpha _{i}\colon E{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{m}$

und

$\beta _{i}\colon F{|}_{U_{i}}\longrightarrow U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}$

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

${}G_{i}=U_{i}\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}\right)}\,$

und

$\varphi _{ij}\colon G_{i}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}\longrightarrow G_{j}{|}_{U_{i}\cap U_{j}}$

mit

${}\varphi _{ij}(\theta ):={\left(\beta _{j}\circ \beta _{i}^{-1}\right)}\circ \theta \circ {\left(\alpha _{i}\circ \alpha _{j}^{-1}\right)}\,$

die Homomorphismenbündel der Vektorbündel ${}E$ und ${}F$. Es wird mit ${}\operatorname {Hom} {\left(E,F\right)}$ bezeichnet.

Definition:Duales Vektorbündel

Zu einem reellen Vektorbündel ${}E$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man das Homomorphismenbündel ${}\operatorname {Hom} {\left(E,X\times \mathbb {R} \right)}$ das duale Bündel von ${}E$. Es wird mit ${}E^{*}$ bezeichnet.

Definition:Prägarbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ eine Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ und zu je zwei offenen Mengen ${}U\subseteq V$ eine Abbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

1. Zu ${}U=V$ ist

   ${}\rho _{U,U}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {F}}{\left(U\right)}}\,.$

2. Zu offenen Mengen

   ${}U\subseteq V\subseteq W\,$

   ist stets

   ${}\rho _{W,U}=\rho _{V,U}\circ \rho _{W,V}\,.$

Definition:Unterprägarbe

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt eine Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ eine Unterprägarbe von ${}{\mathcal {F}}$, wenn ${}{\mathcal {G}}{\left(U\right)}\subseteq {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ist.

Definition:Prägarbe von Gruppen

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition:Prägarbe von kommutativen Ringen

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Ringhomomorphismus ist.

Definition:Topologische Gruppe

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Definition:Topologischer Filter

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Ein System ${}F$ aus offenen Teilmengen von ${}X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).

1. ${}X\in F$.
2. Mit ${}U\in F$ und ${}U\subseteq V$ ist auch ${}V\in F$.
3. Mit ${}U\in F$ und ${}V\in F$ ist auch ${}U\cap V\in F$.

Definition:Gerichtete Menge

Eine geordnete Menge ${}(I,\preccurlyeq )$ heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem ${}i,j\in I$ ein ${}k\in I$ gibt mit ${}i,j\preccurlyeq k$.

Definition:Gerichtetes System

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Indexmenge. Eine Familie

$M_{i},\,i\in I,$

von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Zu ${}i\preccurlyeq j$ gibt es eine Abbildung ${}\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$.
2. Zu ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ ist ${}\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$.

Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.

Definition:Kolimes

Es sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man

${}\operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}=\biguplus _{i\in I}M_{i}/\sim \,$

den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet ${}\sim$ die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente ${}m\in M_{i}$ und ${}n\in M_{j}$ als äquivalent erklärt werden, wenn es ein ${}k\in I$ mit ${}i,j\preccurlyeq k$ und mit

${}\varphi _{ik}(m)=\varphi _{jk}(n)\,$

gibt.

Definition:Halm einer Prägarbe

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man

${}{\mathcal {F}}_{P}:=\operatorname {colim} \,_{P\in U}\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\,$

den Halm der Prägarbe im Punkt ${}P$.

Definition:Halm einer Prägarbe in einem Filter

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ und einem topologischen Filter ${}F$ nennt man

${}{\mathcal {G}}_{F}:=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\,$

den Halm der Prägarbe im Filter ${}F$.

Definition:Prägarben-Morphismus

Es seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Prägarben auf einem topologischen Raum ${}X$. Ein Morphismus von Prägarben

$\varphi \colon {\mathcal {F}}\longrightarrow {\mathcal {G}}$

ist eine Familie von Abbildungen

$\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {G}}(U)$

für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ derart, dass zu jeder offenen Inklusion ${}U\subseteq V$ das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathcal {F}}(U)&{\stackrel {\varphi _{U}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(U)&\\\!\!\!\!\!\rho _{U,V}\downarrow &&\downarrow \rho _{U,V}\!\!\!\!\!&\\{\mathcal {F}}(V)&{\stackrel {\varphi _{V}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {G}}(V)&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Definition:Isomorphismus (Prägarbe)

Ein Morphismus von Prägarben ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ auf ${}X$ heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ eine Bijektion ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}\rightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$ vorliegt.

Definition:Garbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Unter einer Garbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ versteht man eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$, die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s,t\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}\rho _{U,U_{i}}(s)=\rho _{U,U_{i}}(t)$ für alle ${}i\in I$ gilt ${}s=t$.
2. Zu jeder offenen Überdeckung ${}U=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Elementen ${}s_{i}\in {\mathcal {F}}{\left(U_{i}\right)}$ mit ${}\rho _{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{i}\right)}=\rho _{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}{\left(s_{j}\right)}$ für alle ${}i,j\in I$ gibt es ein ${}s\in {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ mit ${}s_{i}=\rho _{U,U_{i}}(s)$ für alle ${}i\in I$.

Definition:Surjektiver Garbenmorphismus

Ein Garbenmorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ zwischen Garben auf einem topologischer Raum ${}X$ heißt surjektiv, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ die Halmabbildung

$\varphi _{P}\colon {\mathcal {F}}_{P}\longrightarrow {\mathcal {G}}_{P}$

surjektiv ist.

Definition:Vergarbung

Zu einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ nennt man die durch

${\widetilde {\mathcal {F}}}(U):={\left\{{\left(s_{P}\right)}_{P\in U}\in \prod _{P\in U}{\mathcal {F}}_{P}\mid {\text{ für alle }}P\in U{\text{ gibt es }}P\in V\subseteq U{\text{ und }}t\in {\mathcal {F}}{\left(V\right)}{\text{ mit }}s_{Q}=t_{Q}{\text{ in }}{\mathcal {F}}_{Q}{\text{ für alle }}Q\in V\right\}}\,$

und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von ${}{\mathcal {F}}$.

Definition:Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Ein Garbenmorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ heißt Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ die Abbildung

$\varphi _{U}\colon {\mathcal {F}}{\left(U\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition:Kerngarbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die durch

${}{\left(\operatorname {kern} \varphi \right)}(U):=\operatorname {kern} \varphi _{U}\,$

definierte Untergarbe von ${}{\mathcal {F}}$ die Kerngarbe zu ${}\varphi$.

Definition:Bildgarbe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}\varphi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die Vergarbung der durch

${}{\left(\operatorname {bild} \varphi \right)}(U):=\operatorname {bild} \varphi _{U}\,$

gegebenen Prägarbe die Bildgarbe zu ${}\varphi$.

Definition:Quotientengarbe

Zu einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ nennt man die Vergarbung der Prägarbe ${}U\mapsto {\mathcal {G}}{\left(U\right)}/{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ die Quotientengarbe zu ${}{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$

Definition:Garbenkomplex

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, es seien ${}{\mathcal {F}}_{n}$ Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ und es seien ${}\varphi _{n}\colon {\mathcal {F}}_{n-1}\rightarrow {\mathcal {F}}_{n}$ Homomorphismen. Man sagt, dass ein Garbenkomplex vorliegt, wenn

${}\operatorname {bild} \varphi _{n}\subseteq \operatorname {kern} \varphi _{n+1}\,$

gilt.

Definition:Exaktheit (Garben)

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es sei ${}{\mathcal {F}}_{\bullet }$ ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$. Man sagt, dass der Komplex exakt ist, wenn

${}\operatorname {bild} \varphi _{n}=\operatorname {kern} \varphi _{n+1}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {Z}$ gilt.

Definition:Kurze exakte Garbensequenz

Ein exakter Komplex

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt kurze exakte Sequenz.

Definition:Vorgeschobene Prägarbe

Zu einer stetigen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

und einer Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf ${}X$ nennt man die durch

${}{\left(\varphi _{*}\right)}{\mathcal {F}}(U):={\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(U)\right)}\,$

gegebene Prägarbe auf ${}Y$ die unter ${}\varphi$ vorgeschobene Prägarbe.

Definition:Zurückgezogene Prägarbe

Zu einer stetigen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

und einer Prägarbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ nennt man auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

$\operatorname {colim} _{{\mathcal {G}}{\left(V\right)}}\,V\subseteq Y,\,U\subseteq \varphi ^{-1}(V)$

gegebene Prägarbe auf ${}X$ die unter ${}\varphi$ zurückgezogene Prägarbe.

Definition:Zurückgezogene Garbe

Zu einer stetigen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einer Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf ${}Y$ nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.

Definition:Beringter Raum

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.

Definition:Halm

Zu einem Punkt ${}P\in X$ in einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt ${}P$.

Definition:Morphismus beringter Räume

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen

$\varphi _{V}^{*}\colon \Gamma (V,{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (\varphi ^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})$

zu jeder offenen Menge ${}V\subseteq Y$, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Definition:Isomorphismus beringter Räume

Ein Morphismus beringter Räume ${}\varphi \colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus ${}\psi \colon (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\rightarrow (X,{\mathcal {O}}_{X})$ beringter Räume mit ${}\psi \circ \varphi =\operatorname {Id} _{X}$ und ${}\varphi \circ \psi =\operatorname {Id} _{Y}$ (als Identität von beringten Räumen) gibt.

Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine Familie ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$, ${}i\in I$, von beringten Räumen.
2. Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$).
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus

   $\varphi _{ji}\colon {\left(U_{ij},{\mathcal {O}}_{U_{ij}}\right)}\longrightarrow {\left(U_{ji},{\mathcal {O}}_{U_{ji}}\right)}$

   von beringten Räumen (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})}$.)

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Homomorphismus von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Definition:Lokal beringter Raum

Ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt ${}P\in X$ der Halm ${}{\mathcal {O}}_{P}$ ein lokaler Ring ist.

Definition:Restekörper

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einem Punkt ${}P\in X$ nennt man den Restekörper des lokalen Ringes ${}{\mathcal {O}}_{P}$ den Restekörper von ${}P$. Er wird mit ${}\kappa (P)$ bezeichnet.

Definition:Auswertung

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einem Punkt ${}x\in X$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}})$ nennt man den Wert von ${}f$ im Restekörper ${}\kappa (x)$ von ${}x$ die Auswertung von ${}f$ in ${}x$. Sie wird mit ${}f(x)$ bezeichnet.

Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

1. Eine Familie ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})$, ${}i\in I$, von beringten Räumen.
2. Für jedes Paar ${}(i,j)$ eine offene Teilmenge ${}U_{ij}\subseteq U_{i}$ (mit ${}U_{ii}=U_{i}$).
3. Für jedes Paar ${}(i,j)$ einen Isomorphismus

   $\varphi _{ji}\colon {\left(U_{ij},{\mathcal {O}}_{U_{ij}}\right)}\longrightarrow {\left(U_{ji},{\mathcal {O}}_{U_{ji}}\right)}$

   von beringten Räumen (mit ${}\varphi _{ii}=\operatorname {Id} _{(U_{i},{\mathcal {O}}_{U_{i}})}$.)

4. Für Indizes ${}i,j,k\in I$ ist die Kozykelbedingung

   ${}\varphi _{kj}\circ \varphi _{ji}=\varphi _{ki}\,$

   als Homomorphismus von ${}U_{ik}\cap U_{ij}$ nach ${}U_{k}$ erfüllt.

Definition:Morphismus lokal beringter Räume

Es seien ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}{\left(Y,{\mathcal {O}}_{Y}\right)}$ lokal beringte Räume. Ein Morphismus lokal beringter Räume von ${}X$ nach ${}Y$ ist ein Morphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ der beringten Räume, für den die induzierten Ringhomomorphismen

$\varphi _{P}^{*}\colon {\mathcal {O}}_{Y,\varphi (P)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X,P}$

für jeden Punkt ${}P\in X$ lokale Homomorphismen sind.

Definition:Invertierbarkeitsort

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und einer globalen Funktion ${}f\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ nennt man

${}X_{f}:={\left\{P\in X\mid f(P)\neq 0{\text{ in }}\kappa (P)\right\}}\,$

den Invertierbarkeitsort von ${}f$.

Definition:Spektrum (kommutativer Ring)

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man die Menge der Primideale von ${}R$ das Spektrum von ${}R$, geschrieben

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$

Definition:Offene Menge (Spektrum)

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge ${}T\subseteq R$ die Mengen

${}D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

als offen erklärt werden.

Definition:Strukturgarbe

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$. Unter der Strukturgarbe auf ${}X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ den kommutativen Ring

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(b)\right\}}\,$

und jeder Inklusion ${}U\subseteq U'$ die natürliche Projektion zuordnet.

Definition:Affines Schema

Das Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ zusammen mit der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ nennt man das affine Schema zu ${}R$.

Definition:Schema

Ein Schema ist ein beringter Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ gibt, für die die ${}(U_{i},{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}})$ affine Schemata sind.

Definition:Quasiaffines Schema

Eine offene Teilmenge ${}U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines affinen Schemas ${}X$ nennt man ein quasiaffines Schema.

Definition:Punktiertes Spektrum

Zu einem lokalen Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ nennt man

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}$

das punktierte Spektrum von ${}R$.

Definition:Schemamorphismus

Ein Schemamorphismus

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen Schemata ${}X$ und ${}Y$ ist ein Morphismus der lokal beringten Räume.

Definition:Schema über Basisschema

Ein Schema ${}X$ zusammen mit einem fixierten Morphismus ${}p\colon X\rightarrow S$ zu einem weiteren Schema ${}S$ heißt ein Schema über ${}S$. Dabei heißt ${}S$ das Basisschema.

Definition:Schemamorphismus über Basisschema

Es seien ${}X$ und ${}Y$ Schemata über dem Basisschema ${}S$. Ein Schemamorphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ heißt Schemamorphismus über ${}S$, wenn das Diagramm

${\begin{matrix}X&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&Y&\\&\searrow &\downarrow &\\&&S&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Definition:Schemamorphismus von endlichem Typ

Ein Schemamorphismus ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ heißt von endlichem Typ, wenn es eine affine offene Überdeckung ${}Y=\bigcup _{i\in I}V_{i}$ derart gibt, dass es endliche affine Überdeckungen

${}\varphi ^{-1}(V_{i})=\bigcup _{i\in I_{j}}U_{i}\,$

gibt so, dass zu jedem ${}i\in I_{j}$ die Ringhomomorphismen

$\Gamma (V_{j},{\mathcal {O}}_{Y})\longrightarrow \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$

von endlichem Typ sind.

Definition:Offene Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus ${}f\colon Y\rightarrow X$ heißt offene Einbettung, wenn ${}f$ einen Isomorphismus mit einer offenen Teilmenge von ${}X$ induziert.

Definition:Abgschlossene Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus ${}f\colon Y\rightarrow X$ heißt abgeschlossene Einbettung, wenn das Bild ${}f(Y)$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${}X$ ist, ein Homöomorphismus ${}Y\rightarrow f(Y)$ vorliegt und der zugehörige Garbenhomomorphismus ${}{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}$ surjektiv ist.

Definition:Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus ${}f\colon Y\rightarrow X$ heißt Einbettung, wenn es eine Faktorisierung

$Y{\stackrel {g}{\longrightarrow }}Z{\stackrel {h}{\longrightarrow }}X$

mit einer offenen Einbettung ${}g$ und einer abgeschlossenen Einbettung ${}h$ gibt.

Definition:Irrelevantes Ideal

Zu einem ${}\mathbb {Z}$- graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad ${}\neq 0$ erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit ${}R_{+}$ bezeichnet.

Definition:Projektives Spektrum

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von ${}R$, die nicht ${}R_{+}$ umfassen, das projektive Spektrum von ${}R$. Es wird mit ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

Definition:Projektives Spektrum

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von ${}R$, die nicht ${}R_{+}$ umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen

${}D_{+}{\left({\mathfrak {a}}\right)}={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} {\left(R\right)}\mid {\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von ${}R$.

Definition:Projektiver Raum

Das projektive Spektrum des Polynomrings ${}R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man den projektiven Raum der Dimension ${}n$ über ${}R$.

Definition:Strukturgarbe auf projektivem Schema

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring und ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von ${}R$. Unter der Strukturgarbe auf ${}Y$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq Y$ den kommutativen Ring

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{({\mathfrak {p}})}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es homogene Elemente }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D_{+}(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{({\mathfrak {q}})}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D_{+}(b)\right\}}\,$

und jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die natürliche Projektion zuordnet.

Definition:Projektives Spektrum

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von ${}R$.

Definition:Abgeschlossene Einbettung

Ein Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ über einem kommutativen Ring ${}R$ heißt projektiv, wenn es eine Faktorisierung

$X{\stackrel {i}{\longrightarrow }}{\mathbb {P} }_{R}^{n}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

gibt, bei der ${}i$ eine abgeschlossene Einbettung ist.

Definition:Projektive Hyperflächen

Zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ nennt man

${}V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

die projektive Hyperfläche zu ${}F$.

Definition:Grad der Hyperfläche

Zu einer projektiven Hyperfläche

${}V_{+}(F)=\operatorname {Proj} {\left(K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,$

zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man den Grad von ${}F$ auch den Grad der Hyperfläche.

Definition:Homogenisierung eines Ideals

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ das von allen homogenen Elementen aus ${}{\mathfrak {a}}$ erzeugte Ideal die Homogenisierung von ${}{\mathfrak {a}}$. Sie wird mit ${}{\mathfrak {a}}^{h}$ bezeichnet.

Definition:Kegelabbildung

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus

$D(R_{+})\longrightarrow \operatorname {Proj} {\left(R\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}^{h},$

der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen ${}f\in R_{+}$ durch die Spektrumsabbildung zu ${}{\left(R_{f}\right)}_{0}\rightarrow R_{f}$ gegeben ist.

Definition:Modulgarbe

Eine Garbe ${}{\mathcal {M}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul, wenn es für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ auf ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ eine ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu ${}U\subseteq V$ verträglich ist.

Definition:Untermodul

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul. Eine Untergarbe ${}{\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {M}}$ derart, dass ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$ für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$- Untermodul von ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ ist, heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Untermodul von ${}{\mathcal {M}}$.

Definition:Idealgarbe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Untermodul ${}{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ heißt Idealgarbe.

Definition:Faser

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein lokal beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul. Zu einem Punkt ${}P\in X$ nennt man

${}{\mathcal {M}}(P):={\mathcal {M}}_{P}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,P}}\kappa (P)\,$

die Faser von ${}{\mathcal {M}}$ im Punkt ${}P$.

Definition:Modulgarbenhomomorphismus

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Moduln auf ${}X$. Ein Garbenhomomorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ die Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$

ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$- Modulhomomorphismus ist.

Definition:Homomorphismenmodul (Garben)

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man

${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}\,$

mit der natürlichen ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$- Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$.

Definition:Homomorphismenmodul (Garben)

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man die Zuordnung

$U\longmapsto \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}{|}_{U}\rightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}$

die Homomorphismengarbe zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$. Sie wird mit ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ bezeichnet.

Definition:Duale Modulgarbe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ eine Modulgarbe auf ${}X$. Dann nennt man

${}{\mathcal {M}}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

mit der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modulstruktur den dualen Modul zu ${}{\mathcal {M}}$.

Definition:Tensorprodukt von Modulgarben

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe

$U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$

das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit ${}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ bezeichnet.

Definition:Invertierbare Garbe

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\mathcal {L}}$ auf einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass die Einschränkungen ${}{\mathcal {L}}{|}_{U_{i}}$ isomorph zu ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$ sind.

Definition:Invertierbarkeitsort

Zu einem lokal beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$, einer invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {L}}$ auf ${}X$ und einem globalen Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ nennt man

${}X_{s}:={\left\{P\in X\mid s_{P}\notin {\mathfrak {m}}_{P}{\mathcal {L}}_{P}\right\}}\,$

den Invertierbarkeitsort von ${}s$.

Definition:Modulgarbe (affines Schema)

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das affine Schema eines kommutativen Ringes ${}R$ und sei ${}M$ ein ${}R$- Modul. Unter dem zu ${}M$ gehörenden ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul ${}{\widetilde {M}}$ auf ${}X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die kommutative Gruppe

$\Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}m\in M{\text{ und }}f\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {m}{f}}{\text{ in }}M_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(f)\right\}}\,$

zusammen mit der Skalarmultiplikation

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\times \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)},\,{\left({\left(g_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\right)}\longmapsto {\left(g_{\mathfrak {p}}s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U},$

zuordnet, und wobei jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die natürliche Projektion zugeordnet wird.

Definition:Quasikohärenter Modul

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\mathcal {M}}$ auf einem Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt quasikohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit ${}U_{i}=\operatorname {Spek} {\left(R_{i}\right)}$ und ${}R_{i}$- Moduln ${}M_{i}$ derart gibt, dass ${}{\mathcal {M}}{|}{U_{i}}={\widetilde {M_{i}}}$ ist.

Definition:Kohärenter Modul

Ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\mathcal {M}}$ auf einem Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ heißt kohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass ${}\Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}$ ein endlich erzeugter ${}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$- Modul ist.

Definition:Modulgarbe auf projektivem Spektrum

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter ${}R$- Modul. Es sei ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das projektive Spektrum zu ${}R$. Die ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modulgarbe ${}{\widehat {M}}$ zu ${}M$ wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge ${}V=D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq Y$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ setzt man

${}\Gamma {\left(V,{\widehat {M}}\right)}:=\Gamma {\left(D({\mathfrak {a}}),{\widetilde {M}}\right)}_{0}\,$

und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$-Modulstruktur.

Definition:Getwistete Strukturgarbe

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter kommutativer Ring und ${}R(n)$ der um ${}n$ verschobene graduierte Ring. Dann bezeichnet man mit

${}{\mathcal {O}}_{Y}(n):={\widehat {R(n)}}\,$

den zugehörigen ${}{\mathcal {O}}_{Y}$- Modul auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$. Man spricht von den getwisteten Strukturgarben.

Definition:Twist einer Garbe

Es sei ${}R$ ein standard-graduierter Ring, es sei ${}{\mathcal {F}}$ ein quasikohärenter Modul auf ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ und ${}n\in \mathbb {Z}$. Dann nennt man

${}{\mathcal {F}}(n):={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{Y}(n)\,$

den ${}n$-ten Twist von ${}{\mathcal {F}}$.

Definition:Von globalen Schnitten erzeugte Garbe

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$. Man sagt, dass ${}{\mathcal {M}}$ von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine Familie ${}s_{i}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ (${}i\in I$) derart gibt, dass für jeden Punkt ${}x\in X$ der Halm ${}{\mathcal {M}}_{x}$ als ${}{\mathcal {O}}_{X,x}$- Modul von den (Einschränkungen der) ${}s_{i}$ erzeugt wird.

Definition:Lokal freie Garbe

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul ${}{\mathcal {F}}$ auf einem beringten Raum ${}X$ heißt lokal frei vom Rang ${}r$, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und ${}{\mathcal {O}}_{U_{i}}$- Modulisomorphismen ${}{\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}\cong {\left({\mathcal {O}}_{U_{i}}\right)}^{r}$ für jedes ${}i\in I$ gibt.

Definition:Projektiver Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Modul ${}M$ heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven ${}R$- Modulhomomorphismus

$\theta \colon A\longrightarrow B$

und jedem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow B$

einen Modulhomomorphismus

$\psi \colon M\longrightarrow A$

mit

${}\varphi =\theta \circ \psi \,$

gibt.

Definition:Determinantengarbe

Zu einer lokal freien Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ vom Rang ${}r$ nennt man die Vergarbung der Prägarbe ${}U\mapsto \bigwedge ^{r}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$ die Determinantengarbe von ${}{\mathcal {G}}$. Sie wird mit ${}\operatorname {Det} {\mathcal {G}}$ bezeichnet.

Definition:Geometrisches Vektorbündel

Es sei ${}X$ ein Schema. Ein Schema ${}V$ zusammen mit einem Morphismus ${}p\colon V\rightarrow X$ heißt geometrisches Vektorbündel vom Rang ${}r$ über ${}X$, wenn es eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und ${}U_{i}$- Isomorphismen

$\psi _{i}\colon U_{i}\times {{\mathbb {A} }_{}^{r}}={{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}\longrightarrow V{|}_{U_{i}}=p^{-1}(U_{i})$

derart gibt, dass für jede offene affine Teilmenge ${}U\subseteq U_{i}\cap U_{j}$ die Übergangsabbildungen

$\psi _{j}^{-1}\circ \psi _{i}\colon {{\mathbb {A} }_{U_{i}}^{r}}{|}_{U}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{U_{j}}^{r}}{|}_{U}$

lineare Automorphismen sind, also durch einen Automorphismus des Polynomringes ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})[T_{1},\ldots ,T_{r}]$ der Form ${}T_{i}\mapsto \sum _{j=1}^{r}a_{ij}T_{j}$ induziert sind.

Definition:Homomorphismus von Vektorbündeln

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über einem Schema ${}X$. Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ist ein Schemamorphismus von ${}V$ nach ${}W$ über ${}X$ derart, dass es zu jedem Punkt ${}P\in X$ eine offene affine Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ gibt, die die vorgegebenen Trivialisierungsumgebungen der Bündel verfeinern (also ${}U\subseteq U_{i},U'_{j}$ für geeignete ${}i,j$) und für die die Hintereinanderschaltungen

${{\mathbb {A} }_{U}^{r}}{\stackrel {\psi _{i}{|}_{U}}{\longrightarrow }}V{|}_{U}{\stackrel {\varphi {|}_{U}}{\longrightarrow }}W{|}_{U}{\stackrel {\theta _{j}^{-1}{|}_{U}}{\longrightarrow }}{{\mathbb {A} }_{U}^{s}}$

auf der Ringebene durch einen linearen Einsetzungshomomorphismus gegeben sind.

Definition:Garbe der Schnitte

Zu einem geometrischen Vektorbündel ${}p\colon V\rightarrow X$ auf einem Schema ${}X$ nennt man die zu einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq X$ durch

${}\Gamma (U,{\mathcal {F}})={\left\{s:U\rightarrow V{|}_{U}{\text{ Schemamorphismus}}\mid p\circ s=\operatorname {Id} _{U}\right\}}\,$

definierte Garbe ${}{\mathcal {F}}$ die Garbe der Schnitte in ${}V$.

Definition:Derivation

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra und ${}M$ ein ${}A$- Modul. Dann heißt eine ${}R$- lineare Abbildung

$\delta \colon A\longrightarrow M$

mit

${}\delta (ab)=a\delta (b)+b\delta (a)\,$

für alle ${}a,b\in A$ eine ${}R$-Derivation (mit Werten in ${}M$).

Definition:Modul der Kähler-Differentiale

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra. Der von allen Symbolen ${}d(a)$, ${}a\in A$, erzeugte ${}A$- Modul, modulo den Identifizierungen

$d(ab)=ad(b)+bd(a){\text{ für alle }}a,b\in A$

und

$d(ra+sb)=rd(a)+sd(b){\text{ für alle }}r,s\in R{\text{ und }}a,b\in A,$

heißt Modul der Kähler-Differentiale von ${}A$ über ${}R$. Er wird mit

$\Omega _{A{|}R}$

bezeichnet.

Definition:Glatter Punkt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

${}Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,.$

Es sei ${}P\in Y$ ein Punkt von ${}Y$ mit der Eigenschaft, dass ${}Y$ im Punkt ${}P$ die Dimension ${}d$ besitze. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}Y$, wenn der Rang der Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$

im Punkt ${}P$ mindestens ${}n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Definition:Regulärer lokaler Ring

Ein noetherscher lokaler Ring ${}(R,{\mathfrak {m}})$ der Dimension ${}n$ heißt regulär, wenn es ${}n$ Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathfrak {m}}$ gibt, die das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ erzeugen.

Definition:Garbe der Kähler-Differentiale

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$. Dann versteht man unter der Garbe der Kähler-Differentiale ${}\Omega _{X{|}S}$ denjenigen quasikohärenten ${}{\mathcal {O}}_{X}$- Modul auf ${}X$ zusammen mit einer Derivation über ${}p^{-1}{\mathcal {O}}_{S}$

$d\colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X{|}S}$

derart, dass für jeden Punkt ${}P\in X$ die Bedingung

${}{\left({\left(\Omega _{X{|}S}\right)}_{P},d_{P}\right)}={\left(\Omega _{{\mathcal {O}}_{X,P}{|}{\mathcal {O}}_{S,p(P)}},d\right)}\,$

erfüllt ist.

Definition:Tangentialgarbe

Es sei ${}p\colon X\rightarrow S$ ein Schema über einem Basisschema ${}S$. Dann versteht man unter der Tangentialgarbe ${}{\mathcal {T}}_{X,S}$ den Dualmodul

${}{\mathcal {T}}_{X,S}=\Omega _{X{|}S}^{*}\,.$

Definition:Kanonische Garbe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei ${}X$ ein zusammenhängendes glattes Schema von endlichem Typ über ${}K$ der Dimension ${}d$. Dann nennt man

${}\omega _{X}:=\operatorname {Det} \Omega _{X{|}K}=\bigwedge ^{d}\Omega _{X{|}K}\,$

die kanonische Garbe von ${}X$.

Definition:Picardgruppe

Zu einem beringten Raum ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ nennt man die Menge der Isomorphieklassen von invertierbaren Garben auf ${}X$ mit der Tensorierung als Verknüpfung, der dualen Garbe als inverses Element und der Strukturgarbe als neutralem Element die Picardgruppe von ${}X$. Sie wird mit ${}\operatorname {Pic} {\left(X\right)}$ bezeichnet.

Definition:Totaler Quotientenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S\subseteq R$ die Menge der Nichtnullteiler von ${}R$. Dann nennt man die Nenneraufnahme ${}R_{S}$ den totalen Quotientenring von ${}R$. Er wird mit ${}Q(R)$ bezeichnet.

Definition:Normaler Ring

Ein kommutativer Ring heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem totalen Quotientenring ist.

Definition:Normalisierung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}Q(R)$ sein totaler Quotientenring. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.

Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit der Eigenschaft ${}f=up^{n}$, wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,(f)$ bezeichnet.

Definition:Normales Schema

Ein Schema heißt normal, wenn jeder lokale Ring ${}{\mathcal {O}}_{x}$ zu ${}x\in X$ ein normaler Ring ist.

Definition:Hauptdivisor

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper ${}K$ und sei ${}f\in K$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die formale Summe

$\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{Y{\text{ Primdivisor }}}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)\cdot Y\,,$

wobei ${}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)$ die Ordnung von ${}f$ im lokalen Ring zu ${}Y$ bezeichnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor.

Definition:Weildivisor

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe ${}\sum _{Y}n_{Y}\cdot Y$, wobei ${}Y$ die Primdivisoren von ${}X$ durchläuft und nur endlich viele der ${}n_{Y}$ von ${}0$ verschieden sind, einen Weildivisor auf ${}X$.

Definition:Weildivisorengruppe

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von ${}X$. Sie wird mit ${}\operatorname {Div} \,(X)$ bezeichnet.

Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper ${}K$. Dann nennt man die Restklassengruppe

${}\operatorname {DKG} {\left(X\right)}=\operatorname {Div} \,(X)/\operatorname {HDiv} \,(X)\,$

die Divisorenklassengruppe von ${}X$.

Definition:Injektiver Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$- Modul ${}I$ heißt injektiv, wenn es für jeden ${}R$-Modul ${}M$, jeden Untermodul ${}N\subseteq M$ und jeden ${}R$- Modul-Homomorphismus ${}\varphi \colon N\rightarrow I$ eine Fortsetzung

${\tilde {\varphi }}\colon M\longrightarrow I$

gibt.

Definition:Divisible Gruppe

Eine kommutative Gruppe ${}G$ heißt divisibel, wenn es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und jedem ${}g\in G$ ein ${}h\in G$ mit ${}g=nh$ gibt.

Definition:Injektive Auflösung (Moduln)

Eine injektive Auflösung eines ${}R$- Moduls ${}M$ über einem kommutativen Ring ${}R$ ist ein exakter Komplex

$0\longrightarrow M\longrightarrow I_{0}\longrightarrow I_{1}\longrightarrow I_{2}\longrightarrow \ldots$

von ${}R$-Moduln, wobei die ${}I_{n}$, ${}n\geq 0$, injektive Moduln sind.

Definition:Welke Garbe

Eine Garbe ${}{\mathcal {G}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt welk, wenn für offene Teilmengen ${}U\subseteq V$ die Einschränkungsabbildungen

${\mathcal {G}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {G}}{\left(U\right)}$

surjektiv sind.

Definition:Genügend viele injektive Objekte

Man sagt, dass eine abelsche Kategorie ${}{\mathcal {A}}$ genügend viele injektive Objekte enthält, wenn es zu jedem Objekt ${}M\in {\mathcal {A}}$ ein injektives Objekt ${}I$ und einen Monomorphismus ${}M\rightarrow I$ gibt.

Definition:Additiver Funktor

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ additive Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt additiv, wenn für Objekte ${}G,H\in {\mathcal {A}}$ die Abbildungen

$\operatorname {Mor} {\left(G,H\right)}\longrightarrow \operatorname {Mor} {\left(F(G),F(H)\right)},\,\varphi \longmapsto F(\varphi ),$

Gruppenhomomorphismen sind.

Definition:Linksexakter Funktor

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor ${}F\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$

in ${}{\mathcal {A}}$ die Sequenz

$0\longrightarrow F(A)\longrightarrow F(B)\longrightarrow F(C)$

in ${}{\mathcal {B}}$ exakt ist.

Definition:Rechtsabgeleiteter Funktor

Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ abelsche Kategorien und ${}{\mathcal {A}}$ habe genügend viele injektive Objekte. Es sei

$F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$

ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der ${}n$-te rechtsabgeleitete Funktor

$R^{n}F\colon {\mathcal {A}}\longrightarrow {\mathcal {B}}$

(${}n\in \mathbb {N}$) ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt ${}M\in {\mathcal {A}}$ nimmt man eine injektive Auflösung ${}I^{\bullet }$ von ${}M$ und setzt

${}R^{n}F(M):=H^{n}(F(I^{\bullet }))\,,$

und für einen Homomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ in ${}{\mathcal {A}}$ nimmt man eine Fortsetzung ${}{\tilde {\varphi }}\colon I^{\bullet }\rightarrow J^{\bullet }$ (wobei ${}J^{\bullet }$ eine injektive Auflösung von