Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Definitionsabfrage
Es sei ein topologischer Raum und . Ein reelles Vektorbündel vom Rang ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung derart, dass jede Faser ein - dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung und Homöomorphismen
über gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus
induzieren.
Es seien und reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ist eine stetige Abbildung über derart, dass für jeden Punkt die induzierte Abbildung
- linear ist.
Es seien und reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus gibt, der verknüpft mit (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge
versehen mit der Projektionsabbildung
das Tangentialbündel von .
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und
eine differenzierbare Abbildung. Es seien und die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung
die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und
das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung
Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn für jede Karte
die Menge offen in ist.
Es seien und topologische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu versteht man eine stetige Abbildung mit
Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung
mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.
Unter einem Verklebungsdatum für topologische Räume versteht man den folgenden Datensatz.
- Eine Familie , , von topologischen Räumen.
- Für jedes Paar eine offene Teilmenge (mit ).
- Für jedes Paar einen
Homöomorphismus
(mit ).
- Für Indizes
ist die
Kozykelbedingung
als Abbildung von nach erfüllt.
Unter einem Verklebungsdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang über einem topologischen Raum versteht man den folgenden Datensatz.
- Eine
offene Überdeckung
- Eine Familie , , von reellen Vektorbündeln vom Rang .
- Für jedes Paar einen
Isomorphismus von Vektorbündeln
über .
- Für Indizes
ist die
Kozykelbedingung
als Abbildung von nach erfüllt.
Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen
und
nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
und
mit
die direkte Summe der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.
Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen
und
nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
und
mit
(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.
Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen
und nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
und
mit
(dabei wird für jeden Basispunkt das -te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das -te äußere Produkt des Vektorbündels . Es wird mit bezeichnet.
Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum nennt man das -te äußere Produkt das Determinantenbündel von . Es wird mit bezeichnet.
Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen
und
nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum
und
mit
die Homomorphismenbündel der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.
Zu einem reellen Vektorbündel auf einem topologischen Raum nennt man das Homomorphismenbündel das duale Bündel von . Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe auf versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge eine Menge und zu je zwei offenen Mengen eine Abbildung
zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.
- Zu
ist
- Zu offenen Mengen
ist stets
Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt eine Prägarbe eine Unterprägarbe von , wenn für jede offene Teilmenge ist.
Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge eine Gruppe und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung
ein Ringhomomorphismus ist.
Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe , die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung
und die Inversenbildung
stetige Abbildungen sind.
Es sei ein topologischer Raum. Ein System aus offenen Teilmengen von heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ( seien offen).
- .
- Mit und ist auch .
- Mit und ist auch .
Eine geordnete Menge heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem ein gibt mit .
Es sei eine geordnete Indexmenge. Eine Familie
von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Zu gibt es eine Abbildung .
- Zu und ist .
Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.
Es sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man
den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente und als äquivalent erklärt werden, wenn es ein mit und mit
gibt.
Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem Punkt nennt man
den Halm der Prägarbe im Punkt .
Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem topologischen Filter nennt man
den Halm der Prägarbe im Filter .
Es seien und Prägarben auf einem topologischen Raum . Ein Morphismus von Prägarben
ist eine Familie von Abbildungen
für jede offene Menge derart, dass zu jeder offenen Inklusion das Diagramm
kommutiert.
Ein Morphismus von Prägarben auf heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge eine Bijektion vorliegt.
Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Garbe auf versteht man eine Prägarbe auf , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.
- Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gilt .
- Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gibt es ein mit für alle .
Ein Garbenmorphismus zwischen Garben auf einem topologischer Raum heißt surjektiv, wenn für jeden Punkt die Halmabbildung
surjektiv ist.
Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum nennt man die durch
und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von .
Es sei ein topologischer Raum und seien und Garben von kommutativen Gruppen auf . Ein Garbenmorphismus heißt Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen, wenn für jede offene Teilmenge die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die durch
definierte Untergarbe von die Kerngarbe zu .
Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die Vergarbung der durch
gegebenen Prägarbe die Bildgarbe zu .
Zu einer Garbe von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen nennt man die Vergarbung der Prägarbe die Quotientengarbe zu
Es sei ein topologischer Raum, es seien Garben von kommutativen Gruppen auf und es seien Homomorphismen. Man sagt, dass ein Garbenkomplex vorliegt, wenn
gilt.
Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf . Man sagt, dass der Komplex exakt ist, wenn
für alle gilt.
Ein exakter Komplex
von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum heißt kurze exakte Sequenz.
Zu einer stetigen Abbildung
und einer Prägarbe auf nennt man die durch
gegebene Prägarbe auf die unter vorgeschobene Prägarbe.
Zu einer stetigen Abbildung
und einer Prägarbe auf nennt man auf einer offenen Menge durch
gegebene Prägarbe auf die unter zurückgezogene Prägarbe.
Zu einer stetigen Abbildung und einer Garbe auf nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.
Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.
Zu einem Punkt in einem beringten Raum nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt .
Es seien und beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen
zu jeder offenen Menge , die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.
Ein Morphismus beringter Räume heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus beringter Räume mit und (als Identität von beringten Räumen) gibt.
Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.
- Eine Familie , , von beringten Räumen.
- Für jedes Paar eine offene Teilmenge (mit ).
- Für jedes Paar einen
Isomorphismus
von beringten Räumen (mit .)
- Für Indizes
ist die
Kozykelbedingung
als Homomorphismus von nach erfüllt.
Ein beringter Raum heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt der Halm ein lokaler Ring ist.
Zu einem lokal beringten Raum und einem Punkt nennt man den Restekörper des lokalen Ringes den Restekörper von . Er wird mit bezeichnet.
Zu einem lokal beringten Raum , einem Punkt und einer globalen Funktion nennt man den Wert von im Restekörper von die Auswertung von in . Sie wird mit bezeichnet.
Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.
- Eine Familie , , von beringten Räumen.
- Für jedes Paar eine offene Teilmenge (mit ).
- Für jedes Paar einen
Isomorphismus
von beringten Räumen (mit .)
- Für Indizes
ist die
Kozykelbedingung
als Homomorphismus von nach erfüllt.
Es seien und lokal beringte Räume. Ein Morphismus lokal beringter Räume von nach ist ein Morphismus der beringten Räume, für den die induzierten Ringhomomorphismen
für jeden Punkt lokale Homomorphismen sind.
Zu einem lokal beringten Raum und einer globalen Funktion nennt man
den Invertierbarkeitsort von .
Zu einem kommutativen Ring nennt man die Menge der Primideale von das Spektrum von , geschrieben
Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge die Mengen
als offen erklärt werden.
Es sei das Spektrum eines kommutativen Ringes . Unter der Strukturgarbe auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge den kommutativen Ring
und jeder Inklusion die natürliche Projektion zuordnet.
Das Spektrum eines kommutativen Ringes zusammen mit der Strukturgarbe nennt man das affine Schema zu .
Ein Schema ist ein beringter Raum derart, dass es eine offene Überdeckung gibt, für die die affine Schemata sind.
Eine offene Teilmenge eines affinen Schemas nennt man ein quasiaffines Schema.
Zu einem lokalen Ring nennt man
das punktierte Spektrum von .
Ein Schemamorphismus
zwischen Schemata und ist ein Morphismus der lokal beringten Räume.
Ein Schema zusammen mit einem fixierten Morphismus zu einem weiteren Schema heißt ein Schema über . Dabei heißt das Basisschema.
Es seien und Schemata über dem Basisschema . Ein Schemamorphismus heißt Schemamorphismus über , wenn das Diagramm
kommutiert.
Ein Schemamorphismus heißt von endlichem Typ, wenn es eine affine offene Überdeckung derart gibt, dass es endliche affine Überdeckungen
gibt so, dass zu jedem die Ringhomomorphismen
von endlichem Typ sind.
Ein Schemamorphismus heißt offene Einbettung, wenn einen Isomorphismus mit einer offenen Teilmenge von induziert.
Ein Schemamorphismus heißt abgeschlossene Einbettung, wenn das Bild eine abgeschlossene Teilmenge von ist, ein Homöomorphismus vorliegt und der zugehörige Garbenhomomorphismus surjektiv ist.
Ein Schemamorphismus heißt Einbettung, wenn es eine Faktorisierung
mit einer offenen Einbettung und einer abgeschlossenen Einbettung gibt.
Zu einem - graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein - graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von , die nicht umfassen, das projektive Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.
Es sei ein - graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von , die nicht umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen
als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von .
Das projektive Spektrum des Polynomrings nennt man den projektiven Raum der Dimension über .
Es sei ein - graduierter Ring und das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von . Unter der Strukturgarbe auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge den kommutativen Ring
und jeder Inklusion die natürliche Projektion zuordnet.
Es sei ein - graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von .
Ein Schema über einem kommutativen Ring heißt projektiv, wenn es eine Faktorisierung
gibt, bei der eine abgeschlossene Einbettung ist.
Zu einem homogenen Polynom über einem Körper nennt man
die projektive Hyperfläche zu .
Zu einer projektiven Hyperfläche
zu einem homogenen Polynom nennt man den Grad von auch den Grad der Hyperfläche.
Es sei ein - graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal das von allen homogenen Elementen aus erzeugte Ideal die Homogenisierung von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein - graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus
der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen durch die Spektrumsabbildung zu gegeben ist.
Eine Garbe auf einem beringten Raum heißt -Modul, wenn es für jede offene Menge auf eine - Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu verträglich ist.
Es sei ein beringter Raum und ein - Modul. Eine Untergarbe derart, dass für jede offene Teilmenge ein - Untermodul von ist, heißt -Untermodul von .
Es sei ein beringter Raum. Ein - Untermodul heißt Idealgarbe.
Es sei ein lokal beringter Raum und ein - Modul. Zu einem Punkt nennt man
die Faser von im Punkt .
Es sei ein beringter Raum und seien und - Moduln auf . Ein Garbenhomomorphismus heißt -Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge die Abbildung
ein - Modulhomomorphismus ist.
Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man
mit der natürlichen - Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu und .
Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man die Zuordnung
die Homomorphismengarbe zu und . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein beringter Raum und sei eine Modulgarbe auf . Dann nennt man
mit der natürlichen - Modulstruktur den dualen Modul zu .
Es sei ein beringter Raum und seien Modulgarben auf . Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe
das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit bezeichnet.
Ein - Modul auf einem beringten Raum heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass die Einschränkungen isomorph zu sind.
Zu einem lokal beringten Raum , einer invertierbaren Garbe auf und einem globalen Schnitt nennt man
den Invertierbarkeitsort von .
Es sei das affine Schema eines kommutativen Ringes und sei ein - Modul. Unter dem zu gehörenden -Modul auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge die kommutative Gruppe
zusammen mit der Skalarmultiplikation
zuordnet, und wobei jeder Inklusion die natürliche Projektion zugeordnet wird.
Ein - Modul auf einem Schema heißt quasikohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung mit und - Moduln derart gibt, dass ist.
Ein quasikohärenter - Modul auf einem Schema heißt kohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung derart gibt, dass ein endlich erzeugter - Modul ist.
Es sei ein - graduierter kommutativer Ring und ein - graduierter - Modul. Es sei das projektive Spektrum zu . Die -Modulgarbe zu wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge zu einem homogenen Ideal setzt man
und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen -Modulstruktur.
Es sei ein - graduierter kommutativer Ring und der um verschobene graduierte Ring. Dann bezeichnet man mit
den zugehörigen - Modul auf . Man spricht von den getwisteten Strukturgarben.
Es sei ein standard-graduierter Ring, es sei ein quasikohärenter Modul auf und . Dann nennt man
den -ten Twist von .
Es sei ein beringter Raum und es sei ein - Modul auf . Man sagt, dass von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine Familie () derart gibt, dass für jeden Punkt der Halm als - Modul von den (Einschränkungen der) erzeugt wird.
Ein - Modul auf einem beringten Raum heißt lokal frei vom Rang , wenn es eine offene Überdeckung und - Modulisomorphismen für jedes gibt.
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Modul heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven - Modulhomomorphismus
und jedem Modulhomomorphismus
einen Modulhomomorphismus
mit
gibt.
Zu einer lokal freien Garbe auf einem beringten Raum vom Rang nennt man die Vergarbung der Prägarbe die Determinantengarbe von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein Schema. Ein Schema zusammen mit einem Morphismus heißt geometrisches Vektorbündel vom Rang über , wenn es eine offene Überdeckung und - Isomorphismen
derart gibt, dass für jede offene affine Teilmenge die Übergangsabbildungen
lineare Automorphismen sind, also durch einen Automorphismus des Polynomringes der Form induziert sind.
Es seien und Vektorbündel über einem Schema . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ist ein Schemamorphismus von nach über derart, dass es zu jedem Punkt eine offene affine Umgebung gibt, die die vorgegebenen Trivialisierungsumgebungen der Bündel verfeinern (also für geeignete ) und für die die Hintereinanderschaltungen
auf der Ringebene durch einen linearen Einsetzungshomomorphismus gegeben sind.
Zu einem geometrischen Vektorbündel auf einem Schema nennt man die zu einer offenen Teilmenge durch
definierte Garbe die Garbe der Schnitte in .
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra und ein - Modul. Dann heißt eine - lineare Abbildung
mit
für alle eine -Derivation (mit Werten in ).
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Der von allen Symbolen , , erzeugte - Modul, modulo den Identifizierungen
und
heißt Modul der Kähler-Differentiale von über . Er wird mit
bezeichnet.
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge
Es sei ein Punkt von mit der Eigenschaft, dass im Punkt die Dimension besitze. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn der Rang der Matrix
im Punkt mindestens ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.
Ein noetherscher lokaler Ring der Dimension heißt regulär, wenn es Elemente gibt, die das maximale Ideal erzeugen.
Es sei ein Schema über einem Basisschema . Dann versteht man unter der Garbe der Kähler-Differentiale denjenigen quasikohärenten - Modul auf zusammen mit einer Derivation über
derart, dass für jeden Punkt die Bedingung
erfüllt ist.
Es sei ein Schema über einem Basisschema . Dann versteht man unter der Tangentialgarbe den Dualmodul
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei ein zusammenhängendes glattes Schema von endlichem Typ über der Dimension . Dann nennt man
die kanonische Garbe von .
Zu einem beringten Raum nennt man die Menge der Isomorphieklassen von invertierbaren Garben auf mit der Tensorierung als Verknüpfung, der dualen Garbe als inverses Element und der Strukturgarbe als neutralem Element die Picardgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring und sei die Menge der Nichtnullteiler von . Dann nennt man die Nenneraufnahme den totalen Quotientenring von . Er wird mit bezeichnet.
Ein kommutativer Ring heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem totalen Quotientenring ist.
Es sei ein kommutativer Ring und sein totaler Quotientenring. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .
Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.
Ein Schema heißt normal, wenn jeder lokale Ring zu ein normaler Ring ist.
Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper und sei , . Dann heißt die formale Summe
wobei die Ordnung von im lokalen Ring zu bezeichnet, der durch definierte Hauptdivisor.
Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe , wobei die Primdivisoren von durchläuft und nur endlich viele der von verschieden sind, einen Weildivisor auf .
Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe
die Divisorenklassengruppe von .
Es sei ein kommutativer Ring. Ein - Modul heißt injektiv, wenn es für jeden -Modul , jeden Untermodul und jeden - Modul-Homomorphismus eine Fortsetzung
gibt.
Eine kommutative Gruppe heißt divisibel, wenn es zu jedem und jedem ein mit gibt.
Eine injektive Auflösung eines - Moduls über einem kommutativen Ring ist ein exakter Komplex
von -Moduln, wobei die , , injektive Moduln sind.
Eine Garbe auf einem topologischen Raum heißt welk, wenn für offene Teilmengen die Einschränkungsabbildungen
surjektiv sind.
Man sagt, dass eine abelsche Kategorie genügend viele injektive Objekte enthält, wenn es zu jedem Objekt ein injektives Objekt und einen Monomorphismus gibt.
Es seien und additive Kategorien. Ein kovarianter Funktor heißt additiv, wenn für Objekte die Abbildungen
Gruppenhomomorphismen sind.
Es seien und abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz
in die Sequenz
in exakt ist.
Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei