Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Definitionsliste

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Definition:Reelles Vektorbündel

Es sei ein topologischer Raum und . Ein reelles Vektorbündel vom Rang ist ein topologischer Raum zusammen mit einer stetigen Abbildung derart, dass jede Faser ein - dimensionaler reeller Vektorraum ist und dass es eine offene Überdeckung und Homöomorphismen

über gibt, die in jeder Faser einen linearen Isomorphismus

induzieren.



Definition:Homomorphismus von reellen Vektorbündeln

Es seien und reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ist eine stetige Abbildung über derart, dass für jeden Punkt die induzierte Abbildung

- linear ist.



Definition:Isomorphismus von reellen Vektorbündeln

Es seien und reelle Vektorbündel auf einem topologischen Raum . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln heißt Isomorphismus, wenn es einen Homomophismus gibt, der verknüpft mit (in beiden Reihenfolgen) die Identität ergibt.



Definition:Tangentialbündel

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann nennt man die Menge

versehen mit der Projektionsabbildung

das Tangentialbündel von .



Definition:Tangentialabbildung

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Es seien und die zugehörigen Tangentialbündel. Dann versteht man unter der Tangentialabbildung

die disjunkte Vereinigung der Tangentialabbildungen in den einzelnen Punkten, also



Definition:Tangentialbündel (mit Topologie)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension und

das Tangentialbündel, versehen mit der Projektionsabbildung

Das Tangentialbündel wird mit derjenigen Topologie versehen, bei der eine Teilmenge genau dann offen ist, wenn für jede Karte

die Menge offen in ist.



Definition:Stetiger Schnitt

Es seien und topologische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Unter einem stetigen Schnitt zu versteht man eine stetige Abbildung mit



Definition:Vektorfeld (Mannigfaltigkeit)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung

mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ist, heißt (zeitunabhängiges) Vektorfeld.



Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für topologische Räume versteht man den folgenden Datensatz.

  1. Eine Familie , , von topologischen Räumen.
  2. Für jedes Paar eine offene Teilmenge (mit ).
  3. Für jedes Paar einen Homöomorphismus

    (mit ).

  4. Für Indizes ist die Kozykelbedingung

    als Abbildung von nach erfüllt.



Definition:Verklebungsdatum (Vektorbündel)

Unter einem Verklebungsdatum für ein reelles Vektorbündel vom Rang über einem topologischen Raum versteht man den folgenden Datensatz.

  1. Eine offene Überdeckung
  2. Eine Familie , , von reellen Vektorbündeln vom Rang .
  3. Für jedes Paar einen Isomorphismus von Vektorbündeln

    über .

  4. Für Indizes ist die Kozykelbedingung

    als Abbildung von nach erfüllt.



Definition:Direkte Summe von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

die direkte Summe der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Tensorprodukt von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

(dabei wird für jeden Basispunkt das Tensorprodukt der linearen Abbildungen genommen) das Tensorprodukt der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Äußeres Produkt eines Vektorbündels

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

(dabei wird für jeden Basispunkt das -te äußere Produkt der linearen Abbildungen genommen) das -te äußere Produkt des Vektorbündels . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Determinantenbündel

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang auf einem topologischen Raum nennt man das -te äußere Produkt das Determinantenbündel von . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Homomorphismenbündel von Vektorbündeln

Zu reellen Vektorbündeln und auf einem topologischen Raum mit Trivialisierungen

und

nennt man das Vektorbündel zum Verklebungsdatum

und

mit

die Homomorphismenbündel der Vektorbündel und . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Duales Vektorbündel

Zu einem reellen Vektorbündel auf einem topologischen Raum nennt man das Homomorphismenbündel das duale Bündel von . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Prägarbe

Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Prägarbe auf versteht man eine Zuordnung, die jeder offenen Menge eine Menge und zu je zwei offenen Mengen eine Abbildung

zuordnet, wobei diese Zuordnung die beiden folgenden Bedingungen erfüllen muss.

  1. Zu ist
  2. Zu offenen Mengen

    ist stets



Definition:Unterprägarbe

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt eine Prägarbe eine Unterprägarbe von , wenn für jede offene Teilmenge ist.



Definition:Prägarbe von Gruppen

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge eine Gruppe und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.



Definition:Prägarbe von kommutativen Ringen

Eine Prägarbe auf einem topologischen Raum heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge die Menge ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion die Restriktionsabbildung

ein Ringhomomorphismus ist.



Definition:Topologische Gruppe

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe , die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

und die Inversenbildung

stetige Abbildungen sind.



Definition:Topologischer Filter

Es sei ein topologischer Raum. Ein System aus offenen Teilmengen von heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ( seien offen).

  1. .
  2. Mit und ist auch .
  3. Mit und ist auch .


Definition:Gerichtete Menge

Eine geordnete Menge heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem ein gibt mit .



Definition:Gerichtetes System

Es sei eine geordnete Indexmenge. Eine Familie

von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Zu gibt es eine Abbildung .
  2. Zu und ist .

Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.



Definition:Kolimes

Es sei , , ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man

den Kolimes (oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente und als äquivalent erklärt werden, wenn es ein mit und mit

gibt.



Definition:Halm einer Prägarbe

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem Punkt nennt man

den Halm der Prägarbe im Punkt .



Definition:Halm einer Prägarbe in einem Filter

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum und einem topologischen Filter nennt man

den Halm der Prägarbe im Filter .



Definition:Prägarben-Morphismus

Es seien und Prägarben auf einem topologischen Raum . Ein Morphismus von Prägarben

ist eine Familie von Abbildungen

für jede offene Menge derart, dass zu jeder offenen Inklusion das Diagramm

kommutiert.



Definition:Isomorphismus (Prägarbe)

Ein Morphismus von Prägarben auf heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge eine Bijektion vorliegt.



Definition:Garbe

Es sei ein topologischer Raum. Unter einer Garbe auf versteht man eine Prägarbe auf , die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

  1. Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gilt .
  2. Zu jeder offenen Überdeckung und Elementen mit für alle gibt es ein mit für alle .


Definition:Surjektiver Garbenmorphismus

Ein Garbenmorphismus zwischen Garben auf einem topologischer Raum heißt surjektiv, wenn für jeden Punkt die Halmabbildung

surjektiv ist.



Definition:Vergarbung

Zu einer Prägarbe auf einem topologischen Raum nennt man die durch

und die natürlichen Restriktionsabbildungen gegebene Prägarbe die Vergarbung von .



Definition:Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen

Es sei ein topologischer Raum und seien und Garben von kommutativen Gruppen auf . Ein Garbenmorphismus heißt Homomorphismus von Garben kommutativer Gruppen, wenn für jede offene Teilmenge die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.



Definition:Kerngarbe

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die durch

definierte Untergarbe von die Kerngarbe zu .



Definition:Bildgarbe

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Homomorphismus von Garben von kommutativen Gruppen. Dann nennt man die Vergarbung der durch

gegebenen Prägarbe die Bildgarbe zu .



Definition:Quotientengarbe

Zu einer Garbe von kommutativen Gruppen und einer Untergarbe von Gruppen nennt man die Vergarbung der Prägarbe die Quotientengarbe zu



Definition:Garbenkomplex

Es sei ein topologischer Raum, es seien Garben von kommutativen Gruppen auf und es seien Homomorphismen. Man sagt, dass ein Garbenkomplex vorliegt, wenn

gilt.



Definition:Exaktheit (Garben)

Es sei ein topologischer Raum und es sei ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf . Man sagt, dass der Komplex exakt ist, wenn

für alle gilt.



Definition:Kurze exakte Garbensequenz

Ein exakter Komplex

von Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum heißt kurze exakte Sequenz.



Definition:Vorgeschobene Prägarbe

Zu einer stetigen Abbildung

und einer Prägarbe auf nennt man die durch

gegebene Prägarbe auf die unter vorgeschobene Prägarbe.



Definition:Zurückgezogene Prägarbe

Zu einer stetigen Abbildung

und einer Prägarbe auf nennt man auf einer offenen Menge durch

gegebene Prägarbe auf die unter zurückgezogene Prägarbe.



Definition:Zurückgezogene Garbe

Zu einer stetigen Abbildung und einer Garbe auf nennt man die Vergarbung der zurückgezogenen Prägarbe die zurückgezogene Garbe.



Definition:Beringter Raum

Ein topologischer Raum, der mit einer Garbe von kommutativen Ringen versehen ist, heißt beringter Raum.



Definition:Halm

Zu einem Punkt in einem beringten Raum nennt man den Halm der Strukturgarbe den Halm im Punkt .



Definition:Morphismus beringter Räume

Es seien und beringte Räume. Ein Morphismus beringter Räume ist eine stetige Abbildung zusammen mit einer Familie von Ringhomomorphismen

zu jeder offenen Menge , die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.



Definition:Isomorphismus beringter Räume

Ein Morphismus beringter Räume heißt Isomorphismus, wenn es einen Morphismus beringter Räume mit und (als Identität von beringten Räumen) gibt.



Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

  1. Eine Familie , , von beringten Räumen.
  2. Für jedes Paar eine offene Teilmenge (mit ).
  3. Für jedes Paar einen Isomorphismus

    von beringten Räumen (mit .)

  4. Für Indizes ist die Kozykelbedingung

    als Homomorphismus von nach erfüllt.



Definition:Lokal beringter Raum

Ein beringter Raum heißt lokal beringt, wenn für jeden Punkt der Halm ein lokaler Ring ist.



Definition:Restekörper

Zu einem lokal beringten Raum und einem Punkt nennt man den Restekörper des lokalen Ringes den Restekörper von . Er wird mit bezeichnet.



Definition:Auswertung

Zu einem lokal beringten Raum , einem Punkt und einer globalen Funktion nennt man den Wert von im Restekörper von die Auswertung von in . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Verklebungsdatum

Unter einem Verklebungsdatum für beringte Räume versteht man den folgenden Datensatz.

  1. Eine Familie , , von beringten Räumen.
  2. Für jedes Paar eine offene Teilmenge (mit ).
  3. Für jedes Paar einen Isomorphismus

    von beringten Räumen (mit .)

  4. Für Indizes ist die Kozykelbedingung

    als Homomorphismus von nach erfüllt.



Definition:Morphismus lokal beringter Räume

Es seien und lokal beringte Räume. Ein Morphismus lokal beringter Räume von nach ist ein Morphismus der beringten Räume, für den die induzierten Ringhomomorphismen

für jeden Punkt lokale Homomorphismen sind.



Definition:Invertierbarkeitsort

Zu einem lokal beringten Raum und einer globalen Funktion nennt man

den Invertierbarkeitsort von .



Definition:Spektrum (kommutativer Ring)

Zu einem kommutativen Ring nennt man die Menge der Primideale von das Spektrum von , geschrieben



Definition:Offene Menge (Spektrum)

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge die Mengen

als offen erklärt werden.



Definition:Strukturgarbe

Es sei das Spektrum eines kommutativen Ringes . Unter der Strukturgarbe auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge den kommutativen Ring

und jeder Inklusion die natürliche Projektion zuordnet.



Definition:Affines Schema

Das Spektrum eines kommutativen Ringes zusammen mit der Strukturgarbe nennt man das affine Schema zu .



Definition:Schema

Ein Schema ist ein beringter Raum derart, dass es eine offene Überdeckung gibt, für die die affine Schemata sind.



Definition:Quasiaffines Schema

Eine offene Teilmenge eines affinen Schemas nennt man ein quasiaffines Schema.



Definition:Punktiertes Spektrum

Zu einem lokalen Ring nennt man

das punktierte Spektrum von .



Definition:Schemamorphismus

Ein Schemamorphismus

zwischen Schemata und ist ein Morphismus der lokal beringten Räume.



Definition:Schema über Basisschema

Ein Schema zusammen mit einem fixierten Morphismus zu einem weiteren Schema heißt ein Schema über . Dabei heißt das Basisschema.



Definition:Schemamorphismus über Basisschema

Es seien und Schemata über dem Basisschema . Ein Schemamorphismus heißt Schemamorphismus über , wenn das Diagramm

kommutiert.



Definition:Schemamorphismus von endlichem Typ

Ein Schemamorphismus heißt von endlichem Typ, wenn es eine affine offene Überdeckung derart gibt, dass es endliche affine Überdeckungen

gibt so, dass zu jedem die Ringhomomorphismen

von endlichem Typ sind.



Definition:Offene Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus heißt offene Einbettung, wenn einen Isomorphismus mit einer offenen Teilmenge von induziert.



Definition:Abgschlossene Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus heißt abgeschlossene Einbettung, wenn das Bild eine abgeschlossene Teilmenge von ist, ein Homöomorphismus vorliegt und der zugehörige Garbenhomomorphismus surjektiv ist.



Definition:Einbettung (Schemata)

Ein Schemamorphismus heißt Einbettung, wenn es eine Faktorisierung

mit einer offenen Einbettung und einer abgeschlossenen Einbettung gibt.



Definition:Irrelevantes Ideal

Zu einem - graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit bezeichnet.



Definition:Projektives Spektrum

Es sei ein - graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von , die nicht umfassen, das projektive Spektrum von . Es wird mit bezeichnet.



Definition:Projektives Spektrum

Es sei ein - graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von , die nicht umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen

als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von .



Definition:Projektiver Raum

Das projektive Spektrum des Polynomrings nennt man den projektiven Raum der Dimension über .



Definition:Strukturgarbe auf projektivem Schema

Es sei ein - graduierter Ring und das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von . Unter der Strukturgarbe auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge den kommutativen Ring

und jeder Inklusion die natürliche Projektion zuordnet.



Definition:Projektives Spektrum

Es sei ein - graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von .



Definition:Abgeschlossene Einbettung

Ein Schema über einem kommutativen Ring heißt projektiv, wenn es eine Faktorisierung

gibt, bei der eine abgeschlossene Einbettung ist.



Definition:Projektive Hyperflächen

Zu einem homogenen Polynom über einem Körper nennt man

die projektive Hyperfläche zu .



Definition:Grad der Hyperfläche

Zu einer projektiven Hyperfläche

zu einem homogenen Polynom nennt man den Grad von auch den Grad der Hyperfläche.



Definition:Homogenisierung eines Ideals

Es sei ein - graduierter Ring. Dann nennt man zu einem Ideal das von allen homogenen Elementen aus erzeugte Ideal die Homogenisierung von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Kegelabbildung

Es sei ein - graduierter Ring. Dann versteht man unter der Kegelabbildung den Schemamorphismus

der auf den offenen Mengen zu homogenen Elementen durch die Spektrumsabbildung zu gegeben ist.



Definition:Modulgarbe

Eine Garbe auf einem beringten Raum heißt -Modul, wenn es für jede offene Menge auf eine - Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu verträglich ist.



Definition:Untermodul

Es sei ein beringter Raum und ein - Modul. Eine Untergarbe derart, dass für jede offene Teilmenge ein - Untermodul von ist, heißt -Untermodul von .



Definition:Idealgarbe

Es sei ein beringter Raum. Ein - Untermodul heißt Idealgarbe.



Definition:Faser

Es sei ein lokal beringter Raum und ein - Modul. Zu einem Punkt nennt man

die Faser von im Punkt .



Definition:Modulgarbenhomomorphismus

Es sei ein beringter Raum und seien und - Moduln auf . Ein Garbenhomomorphismus heißt -Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge die Abbildung

ein - Modulhomomorphismus ist.



Definition:Homomorphismenmodul (Garben)

Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man

mit der natürlichen - Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu und .



Definition:Homomorphismenmodul (Garben)

Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man die Zuordnung

die Homomorphismengarbe zu und . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Duale Modulgarbe

Es sei ein beringter Raum und sei eine Modulgarbe auf . Dann nennt man

mit der natürlichen - Modulstruktur den dualen Modul zu .



Definition:Tensorprodukt von Modulgarben

Es sei ein beringter Raum und seien Modulgarben auf . Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe

das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Invertierbare Garbe

Ein - Modul auf einem beringten Raum heißt invertierbar, wenn es eine offene Überdeckung derart gibt, dass die Einschränkungen isomorph zu sind.



Definition:Invertierbarkeitsort

Zu einem lokal beringten Raum , einer invertierbaren Garbe auf und einem globalen Schnitt nennt man

den Invertierbarkeitsort von .



Definition:Modulgarbe (affines Schema)

Es sei das affine Schema eines kommutativen Ringes und sei ein - Modul. Unter dem zu gehörenden -Modul auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge die kommutative Gruppe

zusammen mit der Skalarmultiplikation

zuordnet, und wobei jeder Inklusion die natürliche Projektion zugeordnet wird.



Definition:Quasikohärenter Modul

Ein - Modul auf einem Schema heißt quasikohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung mit und - Moduln derart gibt, dass ist.



Definition:Kohärenter Modul

Ein quasikohärenter - Modul auf einem Schema heißt kohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung derart gibt, dass ein endlich erzeugter - Modul ist.



Definition:Modulgarbe auf projektivem Spektrum

Es sei ein - graduierter kommutativer Ring und ein - graduierter - Modul. Es sei das projektive Spektrum zu . Die -Modulgarbe zu wird folgendermaßen festgelegt: Zu jeder offenen Menge zu einem homogenen Ideal setzt man

und versieht dies mit den natürlichen Restriktionsabbildungen und der natürlichen -Modulstruktur.



Definition:Getwistete Strukturgarbe

Es sei ein - graduierter kommutativer Ring und der um verschobene graduierte Ring. Dann bezeichnet man mit

den zugehörigen - Modul auf . Man spricht von den getwisteten Strukturgarben.



Definition:Twist einer Garbe

Es sei ein standard-graduierter Ring, es sei ein quasikohärenter Modul auf und . Dann nennt man

den -ten Twist von .



Definition:Von globalen Schnitten erzeugte Garbe

Es sei ein beringter Raum und es sei ein - Modul auf . Man sagt, dass von globalen Schnitten erzeugt wird, wenn es eine Familie () derart gibt, dass für jeden Punkt der Halm als - Modul von den (Einschränkungen der) erzeugt wird.



Definition:Lokal freie Garbe

Ein - Modul auf einem beringten Raum heißt lokal frei vom Rang , wenn es eine offene Überdeckung und - Modulisomorphismen für jedes gibt.



Definition:Projektiver Modul

Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Der Modul heißt projektiv, wenn es zu jedem surjektiven - Modulhomomorphismus

und jedem Modulhomomorphismus

einen Modulhomomorphismus

mit

gibt.



Definition:Determinantengarbe

Zu einer lokal freien Garbe auf einem beringten Raum vom Rang nennt man die Vergarbung der Prägarbe die Determinantengarbe von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Geometrisches Vektorbündel

Es sei ein Schema. Ein Schema zusammen mit einem Morphismus heißt geometrisches Vektorbündel vom Rang über , wenn es eine offene Überdeckung und - Isomorphismen

derart gibt, dass für jede offene affine Teilmenge die Übergangsabbildungen

lineare Automorphismen sind, also durch einen Automorphismus des Polynomringes der Form induziert sind.



Definition:Homomorphismus von Vektorbündeln

Es seien und Vektorbündel über einem Schema . Ein Homomorphismus von Vektorbündeln ist ein Schemamorphismus von nach über derart, dass es zu jedem Punkt eine offene affine Umgebung gibt, die die vorgegebenen Trivialisierungsumgebungen der Bündel verfeinern (also für geeignete ) und für die die Hintereinanderschaltungen

auf der Ringebene durch einen linearen Einsetzungshomomorphismus gegeben sind.



Definition:Garbe der Schnitte

Zu einem geometrischen Vektorbündel auf einem Schema nennt man die zu einer offenen Teilmenge durch

definierte Garbe die Garbe der Schnitte in .



Definition:Derivation

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative - Algebra und ein - Modul. Dann heißt eine - lineare Abbildung

mit

für alle eine -Derivation (mit Werten in ).



Definition:Modul der Kähler-Differentiale

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative - Algebra. Der von allen Symbolen , , erzeugte - Modul, modulo den Identifizierungen

und

heißt Modul der Kähler-Differentiale von über . Er wird mit

bezeichnet.



Definition:Glatter Punkt

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome mit der zugehörigen affin-algebraischen Menge

Es sei ein Punkt von mit der Eigenschaft, dass im Punkt die Dimension besitze. Dann heißt ein glatter Punkt von , wenn der Rang der Matrix

im Punkt mindestens ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.



Definition:Regulärer lokaler Ring

Ein noetherscher lokaler Ring der Dimension heißt regulär, wenn es Elemente gibt, die das maximale Ideal erzeugen.



Definition:Garbe der Kähler-Differentiale

Es sei ein Schema über einem Basisschema . Dann versteht man unter der Garbe der Kähler-Differentiale denjenigen quasikohärenten - Modul auf zusammen mit einer Derivation über

derart, dass für jeden Punkt die Bedingung

erfüllt ist.



Definition:Tangentialgarbe

Es sei ein Schema über einem Basisschema . Dann versteht man unter der Tangentialgarbe den Dualmodul



Definition:Kanonische Garbe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei ein zusammenhängendes glattes Schema von endlichem Typ über der Dimension . Dann nennt man

die kanonische Garbe von .



Definition:Picardgruppe

Zu einem beringten Raum nennt man die Menge der Isomorphieklassen von invertierbaren Garben auf mit der Tensorierung als Verknüpfung, der dualen Garbe als inverses Element und der Strukturgarbe als neutralem Element die Picardgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Totaler Quotientenring

Es sei ein kommutativer Ring und sei die Menge der Nichtnullteiler von . Dann nennt man die Nenneraufnahme den totalen Quotientenring von . Er wird mit bezeichnet.



Definition:Normaler Ring

Ein kommutativer Ring heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem totalen Quotientenring ist.



Definition:Normalisierung

Es sei ein kommutativer Ring und sein totaler Quotientenring. Dann nennt man den ganzen Abschluss von in die Normalisierung von .



Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.



Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Normales Schema

Ein Schema heißt normal, wenn jeder lokale Ring zu ein normaler Ring ist.



Definition:Hauptdivisor

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper und sei , . Dann heißt die formale Summe

wobei die Ordnung von im lokalen Ring zu bezeichnet, der durch definierte Hauptdivisor.



Definition:Weildivisor

Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt man eine formale Summe , wobei die Primdivisoren von durchläuft und nur endlich viele der von verschieden sind, einen Weildivisor auf .



Definition:Weildivisorengruppe

Es sei ein normales noethersches integres Schema. Dann nennt die Gruppe aller Weildivisoren mit komponentenweiser Addition die Weildivisorengruppe von . Sie wird mit bezeichnet.



Definition:Divisorenklassengruppe

Es sei ein normales noethersches integres Schema mit Funktionenkörper . Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .



Definition:Injektiver Modul

Es sei ein kommutativer Ring. Ein - Modul heißt injektiv, wenn es für jeden -Modul , jeden Untermodul und jeden - Modul-Homomorphismus eine Fortsetzung

gibt.



Definition:Divisible Gruppe

Eine kommutative Gruppe heißt divisibel, wenn es zu jedem und jedem ein mit gibt.



Definition:Injektive Auflösung (Moduln)

Eine injektive Auflösung eines - Moduls über einem kommutativen Ring ist ein exakter Komplex

von -Moduln, wobei die , , injektive Moduln sind.



Definition:Welke Garbe

Eine Garbe auf einem topologischen Raum heißt welk, wenn für offene Teilmengen die Einschränkungsabbildungen

surjektiv sind.



Definition:Genügend viele injektive Objekte

Man sagt, dass eine abelsche Kategorie genügend viele injektive Objekte enthält, wenn es zu jedem Objekt ein injektives Objekt und einen Monomorphismus gibt.



Definition:Additiver Funktor

Es seien und additive Kategorien. Ein kovarianter Funktor heißt additiv, wenn für Objekte die Abbildungen

Gruppenhomomorphismen sind.



Definition:Linksexakter Funktor

Es seien und abelsche Kategorien. Ein kovarianter Funktor heißt linksexakt, wenn er additiv ist und wenn für jede kurze exakte Sequenz

in die Sequenz

in exakt ist.



Definition:Rechtsabgeleiteter Funktor

Es seien und abelsche Kategorien und habe genügend viele injektive Objekte. Es sei

ein kovarianter additiver linksexakter Funktor. Der -te rechtsabgeleitete Funktor

() ist folgendermaßen definiert: Für ein Objekt nimmt man eine injektive Auflösung von und setzt

und für einen Homomorphismus in nimmt man eine Fortsetzung