Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 29/latex
\setcounter{section}{29}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{}
derart, dass das
\definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{}
$TM$ trivial ist, und sei auf $M$ über eine differenzierbare Trivialisierung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ TM
}
{ \cong }{ M \times \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit Hilfe des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}
auf dem $\R^n$} {} {}
eine
\definitionsverweis {riemannsche Struktur}{}{}
gegeben
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 16.2} {} {.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{}
auf $M$ trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne in der zweidimensionalen Situation von Lemma 29.1 die relevanten Christoffelsymbole für den \definitionsverweis {Krümmungsoperator}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Torus}{}{}
$S^1 \times S^1$ einerseits mit der durch die Produktstruktur
\zusatzklammer {und der Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
siehe
Aufgabe 16.3
und
Aufgabe 16.4} {} {}
gegebenen
\definitionsverweis {riemannschen Struktur}{}{}
und andererseits mit der eingebetteten Realisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid { \left( \sqrt{x^2+y^2} -R \right) }^2 +z^2 = r^2 \right\} }
}
{ \subseteq} { \R^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der induzierten riemannschen Struktur. Vergleiche die
\definitionsverweis {Krümmungsoperatoren}{}{}
für diese beiden Strukturen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}