R^n/Offene Menge/Riemannsche Metrik/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Berechnung/Fakt

Es sei  $U\subseteq {ℝ}^n$  offen versehen mit einer riemannschen Metrik $g_{ij}$. Es sei $\mathrm{\nabla }$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel  $E=U\times {ℝ}^n$. 

Dann gilt für den Krümmungsoperator

$R({\partial }_i,{\partial }_j)({\partial }_k)=\sum _{\ell =1}^n{R}_{ijk}^{\ell }{\partial }_{\ell }$

mit

$R_{ijk}^{\ell }={\partial }_i{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^{\ell }-{\partial }_j{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^{\ell }+\sum _{a=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^a{\mathrm{\Gamma }}_{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^n{\mathrm{\Gamma }}_{ik}^a{\mathrm{\Gamma }}_{ja}^{\ell },$

wobei die

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^{\ell }=\frac{1}{2}\sum _{\mu =1}^n{g}^{\ell \mu }({\partial }_i{g}_{j\mu }+{\partial }_j{g}_{i\mu }-{\partial }_{\mu }{g}_{ij})$

die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen