R^n/Offene Menge/Riemannsche Metrik/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Berechnung/Fakt

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen versehen mit einer riemannschen Metrik ${}g_{ij}$. Es sei ${}\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}E=U\times \mathbb {R} ^{n}$.

Dann gilt für den Krümmungsoperator

${}R(\partial _{i},\partial _{j})(\partial _{k})=\sum _{\ell =1}^{n}R_{ijk}^{\ell }\partial _{\ell }\,$

mit

${}R_{ijk}^{\ell }={\partial _{i}}\Gamma _{jk}^{\ell }-{\partial _{j}}\Gamma _{ik}^{\ell }+\sum _{a=1}^{n}\Gamma _{jk}^{a}\Gamma _{ia}^{\ell }-\sum _{a=1}^{n}\Gamma _{ik}^{a}\Gamma _{ja}^{\ell }\,,$

wobei die

${}\Gamma _{ij}^{\ell }={\frac {1}{2}}\sum _{\mu =1}^{n}g^{\ell \mu }(\partial _{i}g_{j\mu }+\partial _{j}g_{i\mu }-\partial _{\mu }g_{ij})\,$

die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezeichnen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen