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Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 29

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel trivial ist, und sei auf über eine differenzierbare Trivialisierung (mit Hilfe des Standardskalarproduktes auf dem ) eine riemannsche Struktur gegeben (siehe Aufgabe 16.2). Zeige, dass der Krümmungsoperator auf trivial ist.


Aufgabe *

Berechne in der zweidimensionalen Situation von Lemma 29.1 die relevanten Christoffelsymbole für den Krümmungsoperator.


Aufgabe

Wir betrachten den Torus einerseits mit der durch die Produktstruktur (und der Einbettung , siehe Aufgabe 16.3 und Aufgabe 16.4) gegebenen riemannschen Struktur und andererseits mit der eingebetteten Realisierung

mit der induzierten riemannschen Struktur. Vergleiche die Krümmungsoperatoren für diese beiden Strukturen.




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