Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 29

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit derart, dass das Tangentialbündel $TM$ trivial ist, und sei auf $M$ über eine differenzierbare Trivialisierung  $TM\cong M\times {ℝ}^n$  (mithilfe des Standardskalarproduktes auf dem ${ℝ}^n$) eine riemannsche Struktur gegeben (siehe Aufgabe 16.2). Zeige, dass der Krümmungsoperator auf $M$ trivial ist.

Aufgabe *

Berechne in der zweidimensionalen Situation von Lemma 29.1 die relevanten Christoffelsymbole für den Krümmungsoperator.

Aufgabe

Wir betrachten den Torus $S^1\times S^1$ einerseits mit der durch die Produktstruktur (und der Einbettung  $S^1\subseteq {ℝ}^2$,  siehe Aufgabe 16.3 und Aufgabe 16.4) gegebenen riemannschen Struktur und andererseits mit der eingebetteten Realisierung

$T=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid {(\sqrt{x^2+y^2}-R)}^2+z^2=r^2\}\subseteq {ℝ}^3$

mit der induzierten riemannschen Struktur. Vergleiche die Krümmungsoperatoren für diese beiden Strukturen.

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